a) M & =(llll1 & 3 & 2 & 0 3 & 1 & 0 & 2 2 & 3 & 0 & 1 0 & 2 & 1 & 3) b) M & =(llll0 & a & b & 1 0 & 1 & 0 & 0 a & a & 0 & b 1 & b & a & 0) R.: a^2+b^2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes M = 1 & 3 & 2 & 0 3 & 1 & 0 & 2 2 & 3 & 0 & 1 0 & 2 & 1 & 3 :
a) M = 0 & a & b & 1 0 & 1 & 0 & 0 a & a & 0 & b 1 & b & a & 0
b)
A questão parece nos pedir para encontrar uma relação ou propriedade envolvendo e , resultando em . Vamos focar na matriz do item b) e calcular seu determinante, já que frequentemente expressões envolvendo variáveis resultam de determinantes.

Passo 2

Para calcular o determinante de uma matriz , podemos usar a expansão de Laplace. No entanto, isso pode ser bastante trabalhoso. Uma maneira mais eficiente é simplificar a matriz por operações elementares que não alterem o determinante ou que alterem de forma controlada.

Passo 3

Observamos que a segunda linha da matriz b) é , o que facilita a expansão do determinante. Vamos expandir o determinante ao longo dessa segunda linha.
O determinante de uma matriz pode ser expandido ao longo de qualquer linha ou coluna. Quando expandimos ao longo de uma linha que possui muitos zeros, simplificamos os cálculos.

Passo 4

A expansão do determinante ao longo da segunda linha (linha 2) da matriz b) nos dá:
det(M) = (-1)^2+2 cdot 1 cdot det(M2,2)
Aqui, M2,2 = 0 & b & 1 a & 0 & b 1 & a & 0 é a submatriz obtida removendo a segunda linha e a segunda coluna:

Passo 5

Agora, precisamos calcular o determinante de det(M2,2) = 0 cdot 0 & b a & 0 - b cdot a & b 1 & 0 + 1 cdot a & 0 1 & a :
0 & b a & 0
Calculando cada menor:
  1. a & b 1 & 0
  2. a & 0 1 & a
  3. det(M2,2) = 0 cdot (-ab) - b cdot (-b) + 1 cdot a^2 = 0 + b^2 + a^2 = a^2 + b^2
Substituindo de volta:

Passo 6

Voltando ao determinante original:
det(M) = 1 cdot (a^2 + b^2) = a^2 + b^2

Resposta

O determinante da matriz é .

Exercícios relacionados