Verifique se as funções abaixo de C^2 em C^2 são lineares. Em caso afirmativo, determine suas matrizes. Além disso, classifique-as como injetoras ou sobrejetoras, determine núcleo e imagem.
a) L(x, y)=(-x, y);
b) L(x, y)=(-x,-y);
c) L(x, y)=(0, y);
d) L(x, y)=(y,-x);
e) L(x, y)=(x2, y2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se as funções dadas de em são lineares. Se forem, temos que determinar suas matrizes, classificar se são injetoras ou sobrejetoras, e encontrar o núcleo e a imagem de cada uma. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como transformações lineares, matrizes associadas, injetividade, sobrejetividade, núcleo e imagem.

Passo 2

Vamos começar pela função a) .
Primeiro, verificar se é linear. Uma função é linear se satisfaz e para quaisquer vetores e escalar .

Passo 3

Aplicando L((x1 + x2, y1 + y2)) = (-(x1 + x2), y1 + y2) = (-x1 - x2, y1 + y2) a (-x1, y1) + (-x2, y2) = (-x1 - x2, y1 + y2) :
E :
Como são iguais, a primeira propriedade é satisfeita.

Passo 4

Agora, aplicando L(kx, ky) = (-kx, ky) = k(-x, y) = kL(u) a :
Então, a segunda propriedade também é satisfeita. Portanto, é linear.

Passo 5

Vamos determinar a matriz associada a A = -1 & 0 0 & 1 . A transformação pode ser representada por uma matriz tal que:

Passo 6

Para classificar se -1 & 0 0 & 1 x y = 0 0 implies -x = 0 e y = 0 implies x = 0, y = 0 é injetora ou sobrejetora, olhamos para a matriz .
  • Injetora: é injetora se . Resolvendo :
Então, , logo é injetora.
  • Sobrejetora: é sobrejetora se a imagem de é todo o espaço . Como a matriz é invertível (determinante diferente de zero), é também sobrejetora.

Passo 7

O núcleo de é e a imagem de é todo .

Passo 8

Agora, vamos para a função b) .
Primeiro, verificamos a linearidade seguindo os mesmos passos anteriores.

Passo 9

Aplicando as propriedades de linearidade:
  • Adição:
L((x1 + x2, y1 + y2)) = (-(x1 + x2), -(y1 + y2)) = (-x1 - x2, -y1 - y2)
L(u) + L(v) = (-x1, -y1) + (-x2, -y2) = (-x1 - x2, -y1 - y2)
  • Escalar:
L(kx, ky) = (-kx, -ky) = k(-x, -y) = kL(u)
Portanto, é linear.

Passo 10

A matriz associada a A = -1 & 0 0 & -1 é:

Passo 11

Analisando a injetividade e sobrejetividade:
  • Injetora: Resolver -x = 0 e -y = 0 implies x = 0, y = 0 :
Então, , logo é injetora.
  • Sobrejetora: A matriz é invertível (determinante ), então é sobrejetora.

Passo 12

O núcleo de é e a imagem é .

Passo 13

Vamos para a função c) .
Primeiro, verificar se é linear.

Passo 14

Verificando as propriedades:
  • Adição:
L((x1 + x2, y1 + y2)) = (0, y1 + y2) = (0, y1) + (0, y2) = L(u) + L(v)
  • Escalar:
L(kx, ky) = (0, ky) = k(0, y) = kL(u)
Logo, é linear.

Passo 15

A matriz associada a A = 0 & 0 0 & 1 é:

Passo 16

Analisando injetividade e sobrejetividade:
  • Injetora: Resolver 0x = 0 e y = 0 implies y = 0 :
O núcleo é , que contém mais que apenas o vetor zero. Logo, não é injetora.
  • Sobrejetora: A imagem de consiste em todos os vetores , ou seja, é o eixo em . Como não cobre todo o espaço, não é sobrejetora.

Passo 17

O núcleo de é e a imagem é .

Passo 18

Vamos para a função d) .
Primeiro, verificar a linearidade.

Passo 19

Verificando as propriedades:
  • Adição:
L((x1 + x2, y1 + y2)) = (y1 + y2, -(x1 + x2)) = (y1, -x1) + (y2, -x2) = L(u) + L(v)
  • Escalar:
L(kx, ky) = (ky, -kx) = k(y, -x) = kL(u)
Então, é linear.

Passo 20

A matriz associada a A = 0 & 1 -1 & 0 é:

Passo 21

Analisando injetividade e sobrejetividade:
  • Injetora: Resolver 0 & 1 -1 & 0 x y = y -x = 0 0 implies y = 0 e -x = 0 implies x = 0 :
Então, , logo é injetora.
  • Sobrejetora: A matriz é invertível (determinante ), então é sobrejetora.

Passo 22

O núcleo de é e a imagem é .

Passo 23

Por fim, vamos para a função e) .
Primeiro, verificar a linearidade.

Passo 24

Verificando as propriedades:
  • Adição:
L((x1 + x2, y1 + y2)) = ( x1 + x22, y1 + y22 ) = ( x12, y12 ) + ( x22, y22 ) = L(u) + L(v)
  • Escalar:
L(kx, ky) = ( kx2, ky2 ) = k( x2, y2 ) = kL(u)
Então, é linear.

Passo 25

A matriz associada a A = 12 & 0 0 & 12 é:

Passo 26

Analisando injetividade e sobrejetividade:
  • Injetora: Resolver 12x = 0 e 12y = 0 implies x = 0, y = 0 :
Então, , logo é injetora.
  • Sobrejetora: A matriz é invertível (determinante ), então é sobrejetora.

Passo 27

O núcleo de é e a imagem é .

Resposta

e) A = 12 & 0 0 & 12
  • Linear: Sim.
  • Matriz Associada:
  • Injetora: Sim.
  • Sobrejetora: Sim.
  • Núcleo:
  • Imagem:

Exercícios relacionados