Verifique se as funções abaixo de
em
são lineares. Em caso afirmativo, determine suas matrizes. Além disso, classifique-as como injetoras ou sobrejetoras, determine núcleo e imagem.
a)
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
.
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se as funções dadas de
em
são lineares. Se forem, temos que determinar suas matrizes, classificar se são injetoras ou sobrejetoras, e encontrar o núcleo e a imagem de cada uma. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como transformações lineares, matrizes associadas, injetividade, sobrejetividade, núcleo e imagem.
Passo 2
Vamos começar pela função a)
.
Primeiro, verificar se
é linear. Uma função é linear se satisfaz
e
para quaisquer vetores
e escalar
.
Passo 3
Aplicando
a
:
E
:
Como são iguais, a primeira propriedade é satisfeita.
Passo 4
Agora, aplicando
a
:
Então, a segunda propriedade também é satisfeita. Portanto,
é linear.
Passo 5
Vamos determinar a matriz associada a
. A transformação
pode ser representada por uma matriz
tal que:
Passo 6
Para classificar se
é injetora ou sobrejetora, olhamos para a matriz
.
- Injetora:
é injetora se . Resolvendo :
Então,
, logo
é injetora.
- Sobrejetora:
é sobrejetora se a imagem de é todo o espaço . Como a matriz é invertível (determinante diferente de zero), é também sobrejetora.
Passo 7
O núcleo de
é
e a imagem de
é todo
.
Passo 8
Agora, vamos para a função b)
.
Primeiro, verificamos a linearidade seguindo os mesmos passos anteriores.
Passo 9
Aplicando as propriedades de linearidade:
- Adição:
- Escalar:
Portanto,
é linear.
Passo 10
A matriz associada a
é:
Passo 11
Analisando a injetividade e sobrejetividade:
- Injetora: Resolver
:
Então,
, logo
é injetora.
- Sobrejetora: A matriz
é invertível (determinante ), então é sobrejetora.
Passo 12
O núcleo de
é
e a imagem é
.
Passo 13
Vamos para a função c)
.
Primeiro, verificar se
é linear.
Passo 14
Verificando as propriedades:
- Adição:
- Escalar:
Logo,
é linear.
Passo 15
A matriz associada a
é:
Passo 16
Analisando injetividade e sobrejetividade:
- Injetora: Resolver
:
O núcleo é
, que contém mais que apenas o vetor zero. Logo,
não é injetora.
- Sobrejetora: A imagem de
consiste em todos os vetores , ou seja, é o eixo em . Como não cobre todo o espaço, não é sobrejetora.
Passo 17
O núcleo de
é
e a imagem é
.
Passo 18
Vamos para a função d)
.
Primeiro, verificar a linearidade.
Passo 19
Verificando as propriedades:
- Adição:
- Escalar:
Então,
é linear.
Passo 20
A matriz associada a
é:
Passo 21
Analisando injetividade e sobrejetividade:
- Injetora: Resolver
:
Então,
, logo
é injetora.
- Sobrejetora: A matriz
é invertível (determinante ), então é sobrejetora.
Passo 22
O núcleo de
é
e a imagem é
.
Passo 23
Por fim, vamos para a função e)
.
Primeiro, verificar a linearidade.
Passo 24
Verificando as propriedades:
- Adição:
- Escalar:
Então,
é linear.
Passo 25
A matriz associada a
é:
Passo 26
Analisando injetividade e sobrejetividade:
- Injetora: Resolver
:
Então,
, logo
é injetora.
- Sobrejetora: A matriz
é invertível (determinante ), então é sobrejetora.
Passo 27
O núcleo de
é
e a imagem é
.
Resposta
e)
- Linear: Sim.
- Matriz Associada:
- Injetora: Sim.
- Sobrejetora: Sim.
- Núcleo:
- Imagem: