Verifique se as funções abaixo de em são lineares. Em caso afirmativo, determine suas matrizes. Além disso, classifique-as como injetoras ou sobrejetoras, determine núcleo e imagem.
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se as funções dadas de em são lineares. Se forem, temos que determinar suas matrizes, classificar se são injetoras ou sobrejetoras, e encontrar o núcleo e a imagem de cada uma. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como transformações lineares, matrizes associadas, injetividade, sobrejetividade, núcleo e imagem.

Passo 2

Vamos começar pela função a) .
Primeiro, verificar se é linear. Uma função é linear se satisfaz e para quaisquer vetores e escalar .

Passo 3

Aplicando a :
E :
Como são iguais, a primeira propriedade é satisfeita.

Passo 4

Agora, aplicando a :
Então, a segunda propriedade também é satisfeita. Portanto, é linear.

Passo 5

Vamos determinar a matriz associada a . A transformação pode ser representada por uma matriz tal que:

Passo 6

Para classificar se é injetora ou sobrejetora, olhamos para a matriz .
  • Injetora: é injetora se . Resolvendo :
Então, , logo é injetora.
  • Sobrejetora: é sobrejetora se a imagem de é todo o espaço . Como a matriz é invertível (determinante diferente de zero), é também sobrejetora.

Passo 7

O núcleo de é e a imagem de é todo .

Passo 8

Agora, vamos para a função b) .
Primeiro, verificamos a linearidade seguindo os mesmos passos anteriores.

Passo 9

Aplicando as propriedades de linearidade:
  • Adição:
  • Escalar:
Portanto, é linear.

Passo 10

A matriz associada a é:

Passo 11

Analisando a injetividade e sobrejetividade:
  • Injetora: Resolver :
Então, , logo é injetora.
  • Sobrejetora: A matriz é invertível (determinante ), então é sobrejetora.

Passo 12

O núcleo de é e a imagem é .

Passo 13

Vamos para a função c) .
Primeiro, verificar se é linear.

Passo 14

Verificando as propriedades:
  • Adição:
  • Escalar:
Logo, é linear.

Passo 15

A matriz associada a é:

Passo 16

Analisando injetividade e sobrejetividade:
  • Injetora: Resolver :
O núcleo é , que contém mais que apenas o vetor zero. Logo, não é injetora.
  • Sobrejetora: A imagem de consiste em todos os vetores , ou seja, é o eixo em . Como não cobre todo o espaço, não é sobrejetora.

Passo 17

O núcleo de é e a imagem é .

Passo 18

Vamos para a função d) .
Primeiro, verificar a linearidade.

Passo 19

Verificando as propriedades:
  • Adição:
  • Escalar:
Então, é linear.

Passo 20

A matriz associada a é:

Passo 21

Analisando injetividade e sobrejetividade:
  • Injetora: Resolver :
Então, , logo é injetora.
  • Sobrejetora: A matriz é invertível (determinante ), então é sobrejetora.

Passo 22

O núcleo de é e a imagem é .

Passo 23

Por fim, vamos para a função e) .
Primeiro, verificar a linearidade.

Passo 24

Verificando as propriedades:
  • Adição:
  • Escalar:
Então, é linear.

Passo 25

A matriz associada a é:

Passo 26

Analisando injetividade e sobrejetividade:
  • Injetora: Resolver :
Então, , logo é injetora.
  • Sobrejetora: A matriz é invertível (determinante ), então é sobrejetora.

Passo 27

O núcleo de é e a imagem é .

Resposta

e)
  • Linear: Sim.
  • Matriz Associada:
  • Injetora: Sim.
  • Sobrejetora: Sim.
  • Núcleo:
  • Imagem:

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Prove que:
a) R.:
Verifique se as funções abaixo de em são lineares. Em caso afirmativo, determine suas matrizes. Além disso, classifique-as como injetoras ou sobrejetoras, determine núcleo e imagem
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) ;
f) ;
g) ;
h) ;
Seja um espaço vetorial sobre de dimensão . Considere também como um espaço vetorial sobre . Seja então uma transformação linear.
a) Mostre que ou é igual a ou a .
b) Se é outra transformação linear e são elementos não nulos, linearmente dependentes em , então mostre que .