Verifique se as funções abaixo de em são lineares. Em caso afirmativo, determine suas matrizes. Além disso, classifique-as como injetoras ou sobrejetoras, determine núcleo e imagem.
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se as funções dadas de em são lineares. Se forem, temos que determinar suas matrizes, classificar se são injetoras ou sobrejetoras, e encontrar o núcleo e a imagem de cada uma. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como transformações lineares, matrizes associadas, injetividade, sobrejetividade, núcleo e imagem.
Passo 2
Vamos começar pela função a).
Primeiro, verificar se é linear. Uma função é linear se satisfaz e para quaisquer vetores e escalar .
Passo 3
Aplicando a :
E :
Como são iguais, a primeira propriedade é satisfeita.
Passo 4
Agora, aplicando a :
Então, a segunda propriedade também é satisfeita. Portanto, é linear.
Passo 5
Vamos determinar a matriz associada a . A transformação pode ser representada por uma matriz tal que:
Passo 6
Para classificar se é injetora ou sobrejetora, olhamos para a matriz .
Injetora: é injetora se . Resolvendo :
Então, , logo é injetora.
Sobrejetora: é sobrejetora se a imagem de é todo o espaço . Como a matriz é invertível (determinante diferente de zero), é também sobrejetora.
Passo 7
O núcleo de é e a imagem de é todo .
Passo 8
Agora, vamos para a função b).
Primeiro, verificamos a linearidade seguindo os mesmos passos anteriores.
Passo 9
Aplicando as propriedades de linearidade:
Adição:
Escalar:
Portanto, é linear.
Passo 10
A matriz associada a é:
Passo 11
Analisando a injetividade e sobrejetividade:
Injetora: Resolver :
Então, , logo é injetora.
Sobrejetora: A matriz é invertível (determinante ), então é sobrejetora.
Passo 12
O núcleo de é e a imagem é .
Passo 13
Vamos para a função c).
Primeiro, verificar se é linear.
Passo 14
Verificando as propriedades:
Adição:
Escalar:
Logo, é linear.
Passo 15
A matriz associada a é:
Passo 16
Analisando injetividade e sobrejetividade:
Injetora: Resolver :
O núcleo é , que contém mais que apenas o vetor zero. Logo, não é injetora.
Sobrejetora: A imagem de consiste em todos os vetores , ou seja, é o eixo em . Como não cobre todo o espaço, não é sobrejetora.
Passo 17
O núcleo de é e a imagem é .
Passo 18
Vamos para a função d).
Primeiro, verificar a linearidade.
Passo 19
Verificando as propriedades:
Adição:
Escalar:
Então, é linear.
Passo 20
A matriz associada a é:
Passo 21
Analisando injetividade e sobrejetividade:
Injetora: Resolver :
Então, , logo é injetora.
Sobrejetora: A matriz é invertível (determinante ), então é sobrejetora.
Passo 22
O núcleo de é e a imagem é .
Passo 23
Por fim, vamos para a função e).
Primeiro, verificar a linearidade.
Passo 24
Verificando as propriedades:
Adição:
Escalar:
Então, é linear.
Passo 25
A matriz associada a é:
Passo 26
Analisando injetividade e sobrejetividade:
Injetora: Resolver :
Então, , logo é injetora.
Sobrejetora: A matriz é invertível (determinante ), então é sobrejetora.