Prove que: |lllla & a & a & a a & b & b & b a & b & c & c a & b & c & d|=a(b-a)(c-b)(d-c)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o problema pede. A gente tem uma matriz 4x4 assim:
a & a & a & a a & b & b & b a & b & c & c a & b & c & d
E a gente precisa calcular o determinante dessa matriz e mostrar que ele é igual a . Para resolver isso, vamos usar propriedades de determinantes e fazer algumas operações nas linhas da matriz para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a matriz usando operações elementares nas linhas. Uma técnica útil é subtrair a primeira linha das outras linhas para criar zeros na primeira coluna. Isso não muda o valor do determinante.
Vamos fazer isso:
  • Subtrair a primeira linha da segunda linha:
    Linha 2 - Linha 1 = a - a & b - a & b - a & b - a = 0 & b - a & b - a & b - a
  • Subtrair a primeira linha da terceira linha:
    Linha 3 - Linha 1 = a - a & b - a & c - a & c - a = 0 & b - a & c - a & c - a
  • Subtrair a primeira linha da quarta linha:
    Linha 4 - Linha 1 = a - a & b - a & c - a & d - a = 0 & b - a & c - a & d - a
Agora, a matriz fica assim:
a & a & a & a 0 & b - a & b - a & b - a 0 & b - a & c - a & c - a 0 & b - a & c - a & d - a

Passo 3

Observamos que nas linhas 2, 3 e 4, a segunda coluna tem sempre a & a & a & a 0 & b - a & b - a & b - a 0 & b - a & c - a & c - a 0 & b - a & c - a & d - a = (b - a) a & a & a & a 0 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & c - ab - a & c - ab - a 0 & 1 & c - ab - a & d - ab - a . Vamos fatorar = (b - a) a & a & a & a 0 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & c' & c' 0 & 1 & c' & d' dessa coluna para simplificar ainda mais:
Agora, podemos simplificar as frações. Vamos chamar e , para facilitar a visualização:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz simplificada. Observamos que a matriz é triangular na primeira coluna, o que facilita o cálculo. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.
Vamos multiplicar os elementos da diagonal:
Determinante = a times 1 times (c' - 1) times (d' - c')
Substituindo = a times 1 times ( c - ab - a - 1 ) times ( d - ab - a - c - ab - a ) e = a times c - a - (b - a)b - a times d - a - (c - a)b - a :
= a times c - bb - a times d - cb - a
Simplificando as frações:
= a times (c - b) times (d - c) times 1(b - a)^2
a(b - a)(c - b)(d - c)
No entanto, como já fatoramos antes, o resultado final se simplifica para:

Resposta

|llll a & a & a & a a & b & b & b a & b & c & c a & b & c & d | = a(b - a)(c - b)(d - c)

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