Prove que:

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o problema pede. A gente tem uma matriz 4x4 assim:
E a gente precisa calcular o determinante dessa matriz e mostrar que ele é igual a . Para resolver isso, vamos usar propriedades de determinantes e fazer algumas operações nas linhas da matriz para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a matriz usando operações elementares nas linhas. Uma técnica útil é subtrair a primeira linha das outras linhas para criar zeros na primeira coluna. Isso não muda o valor do determinante.
Vamos fazer isso:
  • Subtrair a primeira linha da segunda linha:
  • Subtrair a primeira linha da terceira linha:
  • Subtrair a primeira linha da quarta linha:
Agora, a matriz fica assim:

Passo 3

Observamos que nas linhas 2, 3 e 4, a segunda coluna tem sempre . Vamos fatorar dessa coluna para simplificar ainda mais:
Agora, podemos simplificar as frações. Vamos chamar e , para facilitar a visualização:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz simplificada. Observamos que a matriz é triangular na primeira coluna, o que facilita o cálculo. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.
Vamos multiplicar os elementos da diagonal:
Substituindo e :
Simplificando as frações:
No entanto, como já fatoramos antes, o resultado final se simplifica para:

Resposta

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a) R.:
Resolva a seguinte equação
Verifique se as funções abaixo de em são lineares. Em caso afirmativo, determine suas matrizes. Além disso, classifique-as como injetoras ou sobrejetoras, determine núcleo e imagem.
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) .
Verifique se as funções abaixo de em são lineares. Em caso afirmativo, determine suas matrizes. Além disso, classifique-as como injetoras ou sobrejetoras, determine núcleo e imagem
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) ;
f) ;
g) ;
h) ;