Beleza, vamos começar resumindo o que o problema pede. A gente tem uma matriz 4x4 assim:
E a gente precisa calcular o determinante dessa matriz e mostrar que ele é igual a . Para resolver isso, vamos usar propriedades de determinantes e fazer algumas operações nas linhas da matriz para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a matriz usando operações elementares nas linhas. Uma técnica útil é subtrair a primeira linha das outras linhas para criar zeros na primeira coluna. Isso não muda o valor do determinante.
Vamos fazer isso:
Subtrair a primeira linha da segunda linha:
Subtrair a primeira linha da terceira linha:
Subtrair a primeira linha da quarta linha:
Agora, a matriz fica assim:
Passo 3
Observamos que nas linhas 2, 3 e 4, a segunda coluna tem sempre . Vamos fatorar dessa coluna para simplificar ainda mais:
Agora, podemos simplificar as frações. Vamos chamar e , para facilitar a visualização:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz simplificada. Observamos que a matriz é triangular na primeira coluna, o que facilita o cálculo. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.
Vamos multiplicar os elementos da diagonal:
Substituindo e :
Simplificando as frações:
No entanto, como já fatoramos antes, o resultado final se simplifica para: