Se M é uma matriz quadrada de ordem 3, cujo determinante é igual a 3, o valor da expressão det(M)+det(-2 M)+det(3 M) vale quanto?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos uma matriz quadrada de ordem 3, cujo determinante é igual a 3. Queremos calcular a expressão . Para resolver isso, vamos precisar conhecer como o determinante se comporta quando multiplicamos a matriz por um número (escalar).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar uma propriedade importante dos determinantes: se você multiplicar uma matriz quadrada de ordem det(kM) = k^n cdot det(M) por um escalar , o determinante da nova matriz será vezes o determinante original. Ou seja,
No nosso caso, como é de ordem 3, temos .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa propriedade para calcular cada determinante na expressão:
  1. Determinante de det(M) = 3 :
    det(-2M) = (-2)^3 cdot det(M) = -8 cdot 3 = -24
    (Esse valor já foi fornecido no enunciado.)
  2. Determinante de det(3M) = 3^3 cdot det(M) = 27 cdot 3 = 81 :
  3. Determinante de :

Passo 4

Agora, somamos os valores que calculamos:
det(M) + det(-2M) + det(3M) = 3 + (-24) + 81 = 60

Resposta

O valor da expressão é 60.

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