Reduza as matrizes abaixo à forma escada reduzida por linha e calcule posto e nulidade de cada uma delas:
c) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz de tamanho . O exercício pede para a gente reduzir essa matriz à forma escada reduzida por linha (também conhecida como forma escada de linha) usando operações elementares e, depois, calcular o posto e a nulidade dessa matriz.
Para resolver isso, vamos precisar:
  • Entender como realizar operações elementares nas linhas de uma matriz.
  • Saber identificar os pivôs (elementos principais) na matriz reduzida.
  • Aplicar as fórmulas para encontrar o posto e a nulidade.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz :
Nosso objetivo é chegar a uma forma onde cada linha seguinte tenha um pivô mais à direita que a linha anterior, e onde os pivôs sejam 1, com zeros abaixo e acima deles.

Passo 3

Começamos com a primeira coluna. Vemos que o primeiro elemento é 0, então vamos procurar na mesma coluna um elemento diferente de zero para trocar de posição.
Observando a segunda linha, o primeiro elemento é 1. Vamos trocar a primeira linha com a segunda:

Passo 4

Agora, vamos zerar os elementos abaixo do pivô (que é 1 na posição (1,1)).
Para zerar o elemento na posição (3,1), que é 3:
  • Subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha.
Para zerar o elemento na posição (4,1), que é 2:
  • Subtraímos 2 vezes a primeira linha da quarta linha.
A matriz fica assim:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda coluna. O pivô aqui é 2 na posição (2,2). Vamos usar ele para zerar os elementos abaixo.
Para zerar o elemento na posição (3,2), que é -7:
  • Multiplicamos a segunda linha por e adicionamos à terceira linha.
Para zerar o elemento na posição (4,2), que é -5:
  • Multiplicamos a segunda linha por e adicionamos à quarta linha.
A matriz agora fica:

Passo 6

Finalmente, vamos simplificar os pivôs para que sejam iguais a 1.
Dividimos a segunda linha por 2:
A matriz reduzida fica:

Passo 7

Agora, vamos garantir que acima dos pivôs também haja zeros. Subtraímos a segunda linha da primeira linha:
A matriz final na forma escada reduzida por linha é:

Resposta

A matriz reduzida à forma escada reduzida por linha é:
O posto da matriz é 2 (número de pivôs) e a nulidade é 1 (número de colunas menos o posto, ou seja, ).

Exercícios relacionados

Se é uma matriz quadrada de ordem 3, cujo determinante é igual a 3, o valor da expressão vale quanto?
Reduza as matrizes abaixo à forma escada reduzida por linha e calcule posto e nulidade de cada uma delas:
а)
Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.
a) , então .
b) Se é uma matriz triangular superior e existe, então também será uma matriz triangular superior.
c) Se é uma matriz tal que , então é invertível.
d) Sejam e duas matrizes . Então .
e) Se , então .
Sejam , e
Escreva o vetor como combinação linear dos vetores e .