Reduza as matrizes abaixo à forma escada reduzida por linha e calcule posto e nulidade de cada uma delas:
c) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz de tamanho . O exercício pede para a gente reduzir essa matriz à forma escada reduzida por linha (também conhecida como forma escada de linha) usando operações elementares e, depois, calcular o posto e a nulidade dessa matriz.
Para resolver isso, vamos precisar:
Entender como realizar operações elementares nas linhas de uma matriz.
Saber identificar os pivôs (elementos principais) na matriz reduzida.
Aplicar as fórmulas para encontrar o posto e a nulidade.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz :
Nosso objetivo é chegar a uma forma onde cada linha seguinte tenha um pivô mais à direita que a linha anterior, e onde os pivôs sejam 1, com zeros abaixo e acima deles.
Passo 3
Começamos com a primeira coluna. Vemos que o primeiro elemento é 0, então vamos procurar na mesma coluna um elemento diferente de zero para trocar de posição.
Observando a segunda linha, o primeiro elemento é 1. Vamos trocar a primeira linha com a segunda:
Passo 4
Agora, vamos zerar os elementos abaixo do pivô (que é 1 na posição (1,1)).
Para zerar o elemento na posição (3,1), que é 3:
Subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha.
Para zerar o elemento na posição (4,1), que é 2:
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da quarta linha.
A matriz fica assim:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda coluna. O pivô aqui é 2 na posição (2,2). Vamos usar ele para zerar os elementos abaixo.
Para zerar o elemento na posição (3,2), que é -7:
Multiplicamos a segunda linha por e adicionamos à terceira linha.
Para zerar o elemento na posição (4,2), que é -5:
Multiplicamos a segunda linha por e adicionamos à quarta linha.
A matriz agora fica:
Passo 6
Finalmente, vamos simplificar os pivôs para que sejam iguais a 1.
Dividimos a segunda linha por 2:
A matriz reduzida fica:
Passo 7
Agora, vamos garantir que acima dos pivôs também haja zeros. Subtraímos a segunda linha da primeira linha:
A matriz final na forma escada reduzida por linha é:
Resposta
A matriz reduzida à forma escada reduzida por linha é:
O posto da matriz é 2 (número de pivôs) e a nulidade é 1 (número de colunas menos o posto, ou seja, ).