Reduza as matrizes abaixo à forma escada reduzida por linha e calcule posto e nulidade de cada uma delas:
c) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz de tamanho . O exercício pede para a gente reduzir essa matriz à forma escada reduzida por linha (também conhecida como forma escada de linha) usando operações elementares e, depois, calcular o posto e a nulidade dessa matriz.
Para resolver isso, vamos precisar:
Entender como realizar operações elementares nas linhas de uma matriz.
Saber identificar os pivôs (elementos principais) na matriz reduzida.
Aplicar as fórmulas para encontrar o posto e a nulidade.
Nosso objetivo é chegar a uma forma onde cada linha seguinte tenha um pivô mais à direita que a linha anterior, e onde os pivôs sejam 1, com zeros abaixo e acima deles.
Passo 3
Começamos com a primeira coluna. Vemos que o primeiro elemento é 0, então vamos procurar na mesma coluna um elemento diferente de zero para trocar de posição.
Observando a segunda linha, o primeiro elemento é 1. Vamos trocar a primeira linha com a segunda:
1 & 1 & 3 0 & 2 & 2 3 & -4 & 2 2 & -3 & 1
Passo 4
Agora, vamos zerar os elementos abaixo do pivô (que é 1 na posição (1,1)).
Para zerar o elemento na posição (3,1), que é 3:
Subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha.
R3 = R3 - 3R1 implies 3 - 3 times 1 = 0, -4 - 3 times 1 = -7, 2 - 3 times 3 = -7
Para zerar o elemento na posição (4,1), que é 2:
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da quarta linha.
R4 = R4 - 2R1 implies 2 - 2 times 1 = 0, -3 - 2 times 1 = -5, 1 - 2 times 3 = -5
A matriz fica assim:
1 & 1 & 3 0 & 2 & 2 0 & -7 & -7 0 & -5 & -5
Passo 5
Agora, vamos para a segunda coluna. O pivô aqui é 2 na posição (2,2). Vamos usar ele para zerar os elementos abaixo.
Para zerar o elemento na posição (3,2), que é -7:
Multiplicamos a segunda linha por R3 = R3 + 72R2 implies 0 + 0 = 0, -7 + 72 times 2 = 0, -7 + 72 times 2 = 0 e adicionamos à terceira linha.