Reduza as matrizes abaixo à forma escada reduzida por linha e calcule posto e nulidade de cada uma delas:
c) C=(ccc0 & 2 & 2 1 & 1 & 3 3 & -4 & 2 2 & -3 & 1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma matriz de tamanho . O exercício pede para a gente reduzir essa matriz à forma escada reduzida por linha (também conhecida como forma escada de linha) usando operações elementares e, depois, calcular o posto e a nulidade dessa matriz.
Para resolver isso, vamos precisar:
  • Entender como realizar operações elementares nas linhas de uma matriz.
  • Saber identificar os pivôs (elementos principais) na matriz reduzida.
  • Aplicar as fórmulas para encontrar o posto e a nulidade.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz C = 0 & 2 & 2 1 & 1 & 3 3 & -4 & 2 2 & -3 & 1 :
Nosso objetivo é chegar a uma forma onde cada linha seguinte tenha um pivô mais à direita que a linha anterior, e onde os pivôs sejam 1, com zeros abaixo e acima deles.

Passo 3

Começamos com a primeira coluna. Vemos que o primeiro elemento é 0, então vamos procurar na mesma coluna um elemento diferente de zero para trocar de posição.
Observando a segunda linha, o primeiro elemento é 1. Vamos trocar a primeira linha com a segunda:
1 & 1 & 3 0 & 2 & 2 3 & -4 & 2 2 & -3 & 1

Passo 4

Agora, vamos zerar os elementos abaixo do pivô (que é 1 na posição (1,1)).
Para zerar o elemento na posição (3,1), que é 3:
  • Subtraímos 3 vezes a primeira linha da terceira linha.
R3 = R3 - 3R1 implies 3 - 3 times 1 = 0, -4 - 3 times 1 = -7, 2 - 3 times 3 = -7
Para zerar o elemento na posição (4,1), que é 2:
  • Subtraímos 2 vezes a primeira linha da quarta linha.
R4 = R4 - 2R1 implies 2 - 2 times 1 = 0, -3 - 2 times 1 = -5, 1 - 2 times 3 = -5
A matriz fica assim:
1 & 1 & 3 0 & 2 & 2 0 & -7 & -7 0 & -5 & -5

Passo 5

Agora, vamos para a segunda coluna. O pivô aqui é 2 na posição (2,2). Vamos usar ele para zerar os elementos abaixo.
Para zerar o elemento na posição (3,2), que é -7:
  • Multiplicamos a segunda linha por R3 = R3 + 72R2 implies 0 + 0 = 0, -7 + 72 times 2 = 0, -7 + 72 times 2 = 0 e adicionamos à terceira linha.
R4 = R4 + 52R2 implies 0 + 0 = 0, -5 + 52 times 2 = 0, -5 + 52 times 2 = 0
Para zerar o elemento na posição (4,2), que é -5:
  • Multiplicamos a segunda linha por 1 & 1 & 3 0 & 2 & 2 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 e adicionamos à quarta linha.
A matriz agora fica:

Passo 6

Finalmente, vamos simplificar os pivôs para que sejam iguais a 1.
Dividimos a segunda linha por 2:
R2 = 12R2 implies 0, 1, 1
A matriz reduzida fica:
1 & 1 & 3 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Passo 7

Agora, vamos garantir que acima dos pivôs também haja zeros. Subtraímos a segunda linha da primeira linha:
R1 = R1 - R2 implies 1 - 0 = 1, 1 - 1 = 0, 3 - 1 = 2
A matriz final na forma escada reduzida por linha é:
1 & 0 & 2 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Resposta

A matriz reduzida à forma escada reduzida por linha é:
1 & 0 & 2 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0
O posto da matriz é 2 (número de pivôs) e a nulidade é 1 (número de colunas menos o posto, ou seja, ).

Exercícios relacionados