Reduza as matrizes abaixo à forma escada reduzida por linha e calcule posto e nulidade de cada uma delas:
а)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. Temos uma matriz de tamanho e queremos reduzi-la à forma escada reduzida por linha. Depois disso, vamos calcular o posto (que é basicamente o número de linhas independentes) e a nulidade (que nos diz quantas soluções livres temos no sistema associado). Para isso, vamos usar as operações elementares de linha, que são movimentos que podemos fazer nas linhas da matriz sem mudar as propriedades dela.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz :
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma mais simples, onde é fácil identificar o posto e a nulidade.

Passo 3

Vamos começar pela primeira linha. O primeiro elemento já é 1, o que é ótimo para começar. Agora, queremos zerar os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna. Para isso, vamos fazer as seguintes operações:
Vamos calcular isso:
Para :
Então,
Para :
Então,
Agora, a matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna. O elemento na posição (2,2) é 3. Queremos que ele seja 1 para facilitar. Então, vamos dividir a segunda linha por 3:
Isso dá:
A matriz agora é:

Passo 5

Vamos zerar o elemento abaixo do 1 na segunda coluna, ou seja, o 7 na posição (3,2). Para isso, usamos a segunda linha:
Calculando:
Então,
A matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a terceira linha para ter um 1 na posição (3,3). Multiplicamos a terceira linha por :
Calculando:
Então,
A matriz agora é:

Passo 7

Vamos agora zerar os elementos acima do 1 na terceira coluna. Primeiro, na segunda linha:
Calculando:
Então,
Agora, na primeira linha:
Calculando:
Então,
A matriz fica:

Passo 8

Por último, vamos zerar o elemento acima do 1 na segunda coluna, que está na posição (1,2). Para isso, usamos a segunda linha:
Calculando:
Então,
A matriz final reduzida é:

Resposta

A matriz reduzida à forma escada reduzida por linha é:
O posto da matriz é 3 e a nulidade é .

Exercícios relacionados

Sejam as matrizes quadradas e de ordem 3. Se , calcule:
a)
b)
c)
b) A Escola considera o desempenho de uma turma satisfatório se pelo menos das notas estiverem distribuídas entre 4 (incluso) e 8 (excluso). A partir disso, podemos concluir que a turma teve um desempenho satisfatório? Justifique sua resposta.
Se é uma matriz quadrada de ordem 3, cujo determinante é igual a 3, o valor da expressão vale quanto?
Reduza as matrizes abaixo à forma escada reduzida por linha e calcule posto e nulidade de cada uma delas:
c) .