Se M=(2,1), N=(3,3) e P=(6,2) são os pontos médios dos lados A B, B C e C A, respectivamente, de um triângulo A B C, determinar as coordenadas de A, B e C.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que foi pedido. Temos três pontos, M=(2,1), N=(3,3) e P=(6,2), que são os pontos médios dos lados AB, BC e CA de um triângulo ABC. Precisamos encontrar as coordenadas dos vértices A, B e C. Para isso, vamos usar o conceito de pontos médios e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Sabendo que M é o ponto médio de AB, podemos usar a fórmula do ponto médio:
Mx = Ax + Bx2, My = Ay + By2
Substituindo os valores de M=(2,1), temos:
Ax + Bx2 = 2 Rightarrow Ax + Bx = 4
Ay + By2 = 1 Rightarrow Ay + By = 2

Passo 3

Fazendo o mesmo para N=(3,3), ponto médio de BC:
Bx + Cx2 = 3 Rightarrow Bx + Cx = 6
By + Cy2 = 3 Rightarrow By + Cy = 6

Passo 4

E para P=(6,2), ponto médio de CA:
Cx + Ax2 = 6 Rightarrow Cx + Ax = 12
Cy + Ay2 = 2 Rightarrow Cy + Ay = 4

Passo 5

Agora, temos um sistema de seis equações:
  1. Ax + Bx = 4
  2. Ay + By = 2
  3. Bx + Cx = 6
  4. By + Cy = 6
  5. Cx + Ax = 12
  6. Cy + Ay = 4
Vamos resolver esse sistema para encontrar as coordenadas de A, B e C.

Passo 6

Vamos resolver para as coordenadas x primeiramente. Da equação 1:
Ax = 4 - Bx
Da equação 3:
Cx = 6 - Bx
Substituindo na equação 5:
(6 - Bx) + (4 - Bx) = 12 10 - 2Bx = 12 -2Bx = 2 Bx = -1

Passo 7

Agora que temos Bx = -1, substituímos de volta para encontrar Ax e Cx:
Ax = 4 - (-1) = 5 Cx = 6 - (-1) = 7

Passo 8

Agora, vamos resolver as coordenadas y. Da equação 2:
Ay = 2 - By
Da equação 4:
Cy = 6 - By
Substituindo na equação 6:
(6 - By) + (2 - By) = 4 8 - 2By = 4 -2By = -4 By = 2

Passo 9

Com By = 2, encontramos Ay e Cy:
Ay = 2 - 2 = 0 Cy = 6 - 2 = 4

Resposta

As coordenadas dos vértices são A=(5,0), B=(-1,2) e C=(7,4).

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