O quadrilátero de vértices A=(-32, 12), B=(12, 2), C=(2,-32) e D=(0,-52) é um paralelogramo? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um quadrilátero com os vértices , , e . Queremos descobrir se esse quadrilátero é um paralelogramo. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre paralelogramos e como identificar se um quadrilátero tem essa propriedade. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um paralelogramo é um quadrilátero onde os lados opostos são paralelos e de igual comprimento. Então, para verificar se nosso quadrilátero é um paralelogramo, precisamos calcular os vetores dos lados e ver se os lados opostos têm as mesmas características.

Passo 3

Vamos calcular os vetores dos lados:
  • Vetor AB = (12 - (-32), 2 - 12) = (2, 32) : Subtraímos as coordenadas de BC = (2 - 12, -32 - 2) = (32, -72) das de CD = (0 - 2, -52 - (-32)) = (-2, -1) . DA = (-32 - 0, 12 - (-52)) = (-32, 3)
  • Vetor :
  • Vetor :
  • Vetor :

Passo 4

Agora, vamos verificar se os vetores dos lados opostos são iguais ou múltiplos entre si (o que indicaria que são paralelos e de mesmo comprimento ou proporcionais):
  • Comparando AB = (2, 32), CD = (-2, -1) e BC = (32, -72), DA = (-32, 3) : Vemos que , ou seja, são paralelos e de mesmo comprimento.
  • Comparando e : Aqui também, , indicando que são paralelos e de mesmo comprimento.

Passo 5

Como os lados opostos e são paralelos e iguais, e os lados opostos e também são paralelos e iguais, podemos concluir que o quadrilátero é um paralelogramo.

Resposta

Sim, o quadrilátero é um paralelogramo porque os lados opostos são paralelos e de igual comprimento.

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