Verifique que os pontos A=(2,1), B=(-1,3) e C=(4,-2) formam um triângulo. Determine o perímetro e a área deste o triângulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se os pontos , e formam um triângulo. Depois, precisamos calcular o perímetro e a área desse triângulo. Para isso, vamos precisar saber como calcular a distância entre dois pontos no plano e entender um pouco sobre triângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se os pontos realmente formam um triângulo. Para isso, precisamos garantir que eles não estão todos alinhados numa mesma reta, ou seja, que não são colineares. Uma maneira de fazer isso é calcular a inclinação das retas e . Se as inclinações forem diferentes, os pontos não estão na mesma linha.

Passo 3

Vamos calcular a inclinação da reta m = y2 - y1x2 - x1 . A fórmula da inclinação entre dois pontos mAB = 3 - 1-1 - 2 = 2-3 = -23 e é:
Para e :

Passo 4

Agora, vamos calcular a inclinação da reta mAC = -2 - 14 - 2 = -32 = -32 . Para e :
Como , os pontos não são colineares e, portanto, formam um triângulo.

Passo 5

Agora que confirmamos que os pontos formam um triângulo, vamos calcular o perímetro. O perímetro é a soma das medidas dos lados d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 , e . Para calcular a distância entre dois pontos, usamos a fórmula:

Passo 6

Vamos calcular AB = raiz(-1 - 2)^2 + (3 - 1)^2 = raiz(-3)^2 + (2)^2 = raiz9 + 4 = raiz13 approx 3,605 :

Passo 7

Agora, BC = raiz(4 - (-1))^2 + (-2 - 3)^2 = raiz(5)^2 + (-5)^2 = raiz25 + 25 = raiz50 approx 7,071 :

Passo 8

E finalmente, AC = raiz(4 - 2)^2 + (-2 - 1)^2 = raiz(2)^2 + (-3)^2 = raiz4 + 9 = raiz13 approx 3,605 :

Passo 9

Com as medidas dos lados, podemos calcular o perímetro:
Perímetro = AB + BC + AC approx 3,605 + 7,071 + 3,605 approx 14,281 í

Passo 10

Agora, vamos calcular a área do triângulo. Podemos usar a fórmula de Herão, que é:
Área = raizs(s - a)(s - b)(s - c) Á
onde é o semiperímetro e , , são os lados do triângulo.

Passo 11

Primeiro, encontramos o semiperímetro s = AB + BC + AC2 approx 3,605 + 7,071 + 3,6052 approx 14,2812 approx 7,1405 :

Passo 12

Agora, aplicamos na fórmula de Herão:
Área = raiz7,1405(7,1405 - 3,605)(7,1405 - 7,071)(7,1405 - 3,605) Á
Área = raiz7,1405 times 3,5355 times 0,0695 times 3,5355 Á
Calculando isso:
Área approx raiz7,1405 times 3,5355 times 0,0695 times 3,5355 approx raiz7,1405 times 3,5355 times 0,0695 times 3,5355 approx raiz7,1405 times 3,5355 times 0,0695 times 3,5355 approx raiz5,0 approx 5,0 Á

Resposta

O perímetro do triângulo é aproximadamente unidades e a área é cerca de unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Classifique os triângulos abaixo (eqüilátero, isósceles ou escaleno):
(1) A=(1,1), B=(3,2) e C=(0,3)
(2) D=(-1,1), E=(3,1) e F=(1,2 raiz3+1)
(3) G=(3,2 raiz3), H=(3,0) e I=(0,-raiz3)
Determinar y para que os pontos (3,5),(-3,8) e (4, y) sejam colineares.
Se M=(2,1), N=(3,3) e P=(6,2) são os pontos médios dos lados A B, B C e C A, respectivamente, de um triângulo A B C, determinar as coordenadas de A, B e C.
O quadrilátero de vértices A=(-32, 12), B=(12, 2), C=(2,-32) e D=(0,-52) é um paralelogramo? Justifique sua resposta.