Use part © of Theorem 7.1.1 to show that
, where
and
are real
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que a transformada de Laplace de
é igual a
. A matéria que estamos usando aqui é Transformada de Laplace, especificamente a parte do teorema 7.1.1, item ©. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema para encontrar a transformada da função exponencial com um número complexo no expoente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta matemática que transforma uma função do tempo
para o domínio da frequência
. A definição básica é:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace na função
. Substituindo na definição:
Passo 4
Vamos simplificar o expoente. Somando os termos no expoente:
Passo 5
A integral agora fica:
Essa é uma integral exponencial padrão. Sabemos que:
No nosso caso,
. Para a integral convergir, precisamos que
, ou seja,
.
Passo 6
Aplicando a fórmula da integral:
Multiplicamos o numerador e denominador pelo conjugado do denominador para racionalizar:
Resposta
A transformada de Laplace de
é:
Exercícios relacionados
Make up a function
that is of exponential order but where
is not of exponential order. Make up a function
that is not of exponential order but whose Laplace transform exists.
In Problems 43-46 use Problems 41 and 42 and the fact that
to find the Laplace transform of the given function.
Use Problem 41 and a change of variables to obtain the generalization
of the result in Theorem 7.1.1(b).
Suppose that
for
and that
for
. When does