Use part © of Theorem 7.1.1 to show that , where and are real

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que a transformada de Laplace de é igual a . A matéria que estamos usando aqui é Transformada de Laplace, especificamente a parte do teorema 7.1.1, item ©. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema para encontrar a transformada da função exponencial com um número complexo no expoente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta matemática que transforma uma função do tempo para o domínio da frequência . A definição básica é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace na função . Substituindo na definição:

Passo 4

Vamos simplificar o expoente. Somando os termos no expoente:

Passo 5

A integral agora fica:
Essa é uma integral exponencial padrão. Sabemos que:
No nosso caso, . Para a integral convergir, precisamos que , ou seja, .

Passo 6

Aplicando a fórmula da integral:
Multiplicamos o numerador e denominador pelo conjugado do denominador para racionalizar:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

Exercícios relacionados

Make up a function that is of exponential order but where is not of exponential order. Make up a function that is not of exponential order but whose Laplace transform exists.
In Problems 43-46 use Problems 41 and 42 and the fact that to find the Laplace transform of the given function.
Use Problem 41 and a change of variables to obtain the generalization
of the result in Theorem 7.1.1(b).
Suppose that for and that for . When does