Use part © of Theorem 7.1.1 to show that L{e^(a+i b) t}=(s-a+i b)/((s-a)^{2}+b^{2}), where a and b are real

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para mostrar que a transformada de Laplace de é igual a . A matéria que estamos usando aqui é Transformada de Laplace, especificamente a parte do teorema 7.1.1, item ©. Vamos precisar entender como aplicar esse teorema para encontrar a transformada da função exponencial com um número complexo no expoente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é uma ferramenta matemática que transforma uma função do tempo para o domínio da frequência . A definição básica é:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace na função . Substituindo na definição:

Passo 4

Vamos simplificar o expoente. Somando os termos no expoente:

Passo 5

A integral agora fica:
Essa é uma integral exponencial padrão. Sabemos que:
No nosso caso, . Para a integral convergir, precisamos que , ou seja, .

Passo 6

Aplicando a fórmula da integral:
Multiplicamos o numerador e denominador pelo conjugado do denominador para racionalizar:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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