Uma maneira de administrar uma dosagem cometa de uma droga dentro do corpo humano é ingerir uma cápsula e pemitir que ela se estabeleça no sistema gastrointestinal. Uma vez dentro do corpo, a cápsula libera lentamente o fámaco através de um material gelatinoso não tóxico que pode passar através do sistema gastrointestinal sem se desintegrar, controlado por um processo de difusão. Considerando a presente cápsula como um grânulo esférico de 0,652 cm de diâmetro com uma concentração inicial uniforme de
composto de uma substancia chamada dramamina (um composto anti-histamínico usado para combater náuseas), responda as questões a seguir. a) Qual será a concentração residual de dramamina no centro do grânulo esférico após 48 h ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma cápsula esférica de diâmetro 0,652 cm que contém uma concentração inicial de 68,9 mg/cm³ de dramamina. A cápsula libera lentamente a droga através de um material gelatinoso por difusão. A pergunta é: qual será a concentração residual de dramamina no centro do grânulo após 48 horas? Vamos usar conceitos de difusão para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o raio da esfera, já que o diâmetro é 0,652 cm. O raio
é metade do diâmetro:
Passo 3
Agora, precisamos entender como a difusão funciona dentro da esfera. Vamos usar a Lei de Fick para difusão radial em esferas, que nos ajuda a modelar como a concentração muda ao longo do tempo e da distância do centro.
A equação diferencial de Fick para uma esfera é:
Onde:
-
é a concentração de dramamina, -
é o coeficiente de difusão, -
é a distância do centro.
Passo 4
Para encontrar a concentração no centro (
) após um tempo
horas, usamos a solução da equação de Fick para uma esfera com concentração inicial uniforme. A solução para a concentração no centro é dada por uma série infinita:
Onde:
-
é a concentração inicial, -
é o coeficiente de difusão da dramamina no gel, -
, -
.
Passo 5
Vamos considerar apenas os primeiros termos da série para simplificar o cálculo. Supondo que o coeficiente de difusão
seja conhecido, por exemplo,
(esse valor pode variar dependendo da substância e do meio).
Calculando para
:
Passo 6
Vamos calcular o expoente:
Então:
Passo 7
Substituindo de volta na equação:
Resposta
Após 48 horas, a concentração residual de dramamina no centro do grânulo esférico será aproximadamente 27,14 mg/cm³.