Uma maneira de administrar uma dosagem cometa de uma droga dentro do corpo humano é ingerir uma cápsula e pemitir que ela se estabeleça no sistema gastrointestinal. Uma vez dentro do corpo, a cápsula libera lentamente o fámaco através de um material gelatinoso não tóxico que pode passar através do sistema gastrointestinal sem se desintegrar, controlado por um processo de difusão. Considerando a presente cápsula como um grânulo esférico de 0,652 cm de diâmetro com uma concentração inicial uniforme de 68,9 mg / cm^3 composto de uma substancia chamada dramamina (um composto anti-histamínico usado para combater náuseas), responda as questões a seguir. a) Qual será a concentração residual de dramamina no centro do grânulo esférico após 48 h ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma cápsula esférica de diâmetro 0,652 cm que contém uma concentração inicial de 68,9 mg/cm³ de dramamina. A cápsula libera lentamente a droga através de um material gelatinoso por difusão. A pergunta é: qual será a concentração residual de dramamina no centro do grânulo após 48 horas? Vamos usar conceitos de difusão para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o raio da esfera, já que o diâmetro é 0,652 cm. O raio R = 0,652 , cm2 = 0,326 , cm é metade do diâmetro:

Passo 3

Agora, precisamos entender como a difusão funciona dentro da esfera. Vamos usar a Lei de Fick para difusão radial em esferas, que nos ajuda a modelar como a concentração muda ao longo do tempo e da distância do centro.
A equação diferencial de Fick para uma esfera é:
partial Cpartial t = D ( 1r^2 partialpartial r ( r^2 partial Cpartial r ) )
Onde:
  • é a concentração de dramamina,
  • é o coeficiente de difusão,
  • é a distância do centro.

Passo 4

Para encontrar a concentração no centro ( C(0,t) = Ci [ 1 - 6pi^2 sumn=1^infty (-1)^n+1n^2 e^-D n^2 pi^2 t / R^2 ] ) após um tempo horas, usamos a solução da equação de Fick para uma esfera com concentração inicial uniforme. A solução para a concentração no centro é dada por uma série infinita:
Onde:
  • é a concentração inicial,
  • é o coeficiente de difusão da dramamina no gel,
  • ,
  • .

Passo 5

Vamos considerar apenas os primeiros termos da série para simplificar o cálculo. Supondo que o coeficiente de difusão C(0,48) approx 68,9 [ 1 - 6pi^2 ( 11^2 e^-1 times 10^-5 times pi^2 times 48 / (0,326)^2 ) ] seja conhecido, por exemplo, (esse valor pode variar dependendo da substância e do meio).
Calculando para :

Passo 6

Vamos calcular o expoente:
D pi^2 tR^2 = 1 times 10^-5 times pi^2 times 480,326^2 approx 1 times 10^-5 times 9,87 times 480,106 approx 4,47 times 10^-3
Então:
e^-4,47 times 10^-3 approx 0,9956

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
C(0,48) approx 68,9 [ 1 - 69,87 times 0,9956 ] approx 68,9 [ 1 - 0,606 ] approx 68,9 times 0,394 approx 27,14 , mg/cm^3

Resposta

Após 48 horas, a concentração residual de dramamina no centro do grânulo esférico será aproximadamente 27,14 mg/cm³.

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