PRECISO DESSA RESOLUÇÃO PARA HOJE
PARA COMPARAR COM A MINHA
Considere um grupo formado por 7 homens (entre os quais José) e 5 mulheres (entre as
quais Maria), do qual se quer extrair uma comissão constituída por 4 pessoas. Quantas são as
comissões:
a) Possíveis?
b) Formadas por 2 homens e 2 mulheres?
c) Em que haja pelo menos 2 mulheres?

Passo 1

Beleza! Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um grupo de 12 pessoas, sendo 7 homens e 5 mulheres. Queremos formar uma comissão de 4 pessoas. Isso envolve conceitos de combinatória, especificamente combinações, porque a ordem das pessoas na comissão não importa.

Passo 2

a) Número total de comissões possíveis

Para encontrar quantas comissões diferentes podemos formar, precisamos calcular de quantas maneiras podemos escolher 4 pessoas entre 12.
Usamos a fórmula da combinação:
C(n, k) = n!k! times (n - k)!
Onde:
  • $ n = 12 $ (total de pessoas)
  • $ k = 4 $ (pessoas na comissão)
Então,
n = 12
Calculando:
k = 4
Portanto, existem 495 comissões possíveis.

Passo 3

b) Comissões formadas por 2 homens e 2 mulheres

Aqui, queremos selecionar exatamente 2 homens entre 7 e 2 mulheres entre 5.
Primeiro, calculamos quantas maneiras podemos escolher 2 homens de 7:
C(7, 2) = 7!2! times (7 - 2)! = 7!2! times 5! = 21
Depois, calculamos quantas maneiras podemos escolher 2 mulheres de 5:
C(5, 2) = 5!2! times (5 - 2)! = 5!2! times 3! = 10
Para encontrar o total de comissões com 2 homens e 2 mulheres, multiplicamos as duas combinações:
21 times 10 = 210
Então, há 210 comissões formadas por 2 homens e 2 mulheres.

Passo 4

c) Comissões com pelo menos 2 mulheres

Pelo menos 2 mulheres” significa que a comissão pode ter 2, 3 ou 4 mulheres. Vamos calcular cada caso separadamente e depois somar.
  1. 2 mulheres e 2 homens:
C(5, 2) times C(7, 2) = 10 times 21 = 210
  1. 3 mulheres e 1 homem:
C(5, 3) times C(7, 1) = 10 times 7 = 70
  1. 4 mulheres e 0 homens:
C(5, 4) times C(7, 0) = 5 times 1 = 5
Agora, somamos todas as possibilidades:
210 + 70 + 5 = 285
Portanto, existem 285 comissões com pelo menos 2 mulheres.

Resposta

a) 495 comissões possíveis.
b) 210 comissões formadas por 2 homens e 2 mulheres.
c) 285 comissões com pelo menos 2 mulheres.

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