Uma mangueira de incêndio lança um jato dcima fazendo um ângulo de 30^circ com a horizontal. A água deixa a mangueira com uma velocidade escalar de 25 m / s. Admitindo-se que a água se comporta como um projétil, a que distância de um edifício a mangueira deveria estar localizada para alcançar o fogo mais alto possível? (R.: 27 m )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma mangueira de incêndio que lança água em um ângulo de com a horizontal, e a velocidade inicial da água é de . Nosso objetivo é descobrir a que distância do prédio a mangueira deve ficar para que a água atinja o ponto mais alto do fogo. Para isso, vamos usar conceitos de movimento de projéteis, que envolve decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical, e aplicar algumas fórmulas da física para encontrar a distância desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial da água nas suas componentes horizontal ( v0x = v0 cdot cos(theta) ) e vertical ( v0y = v0 cdot sin(theta) ). Para isso, usamos as funções trigonométricas seno e cosseno do ângulo de lançamento:
Onde:
  • é a velocidade inicial,
  • é o ângulo de lançamento.

Passo 3

Agora, vamos calcular o tempo que a água leva para atingir a altura máxima. Na altura máxima, a velocidade vertical ( vy = v0y - g cdot t ) é zero. Usamos a seguinte fórmula:
0 = v0y - g cdot t Rightarrow t = v0yg
Onde:
  • é a aceleração da gravidade,
  • é o tempo.
Como na altura máxima:

Passo 4

Com o tempo x = v0x cdot t que a água leva para chegar na altura máxima, podemos calcular a distância horizontal ( x = v0x cdot ( v0yg ) = v0x cdot v0yg ) até o prédio usando a componente horizontal da velocidade:
Substituindo da etapa anterior:

Passo 5

Vamos agora substituir os valores numéricos para calcular v0x = 25, m/s cdot cos(30^circ) approx 25 cdot 0,8660 approx 21,65, m/s :
Primeiro, calculamos v0y = 25, m/s cdot sin(30^circ) = 25 cdot 0,5 = 12,5, m/s e x = 21,65, m/s cdot 12,5, m/s9,8, m/s^2 approx 270,6259,8 approx 27,66, m :
Agora, substituímos na fórmula de :

Resposta

A mangueira deve estar localizada a aproximadamente 27 metros do edifício para alcançar o fogo no ponto mais alto.

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