Uma mangueira de jardim com 0,75 in de diâmetro, está conectada a um borrifador que consiste em um reservatório com 24 furos, cada um com 0,050 in de diâmetro. Se a água que passa pela mangueira possui uma velocidade de 3,5 ft / s, a que velocidade ela sai pelos buracos do borrifador?

Passo 1

Vamos resolver um problema de hidrodinâmica, que é a parte da física que estuda o fluxo de líquidos. Neste exercício, precisamos descobrir a velocidade com que a água sai pelos furos do borrifador. Para isso, vamos utilizar o Princípio da Continuidade, que nos ajuda a relacionar a velocidade e a área de diferentes partes de um sistema de fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o Princípio da Continuidade nos diz. Esse princípio afirma que, para um fluido incompressível (como a água), o fluxo que entra em um sistema deve ser igual ao fluxo que sai. Matematicamente, isso é representado por:
A1 times v1 = A2 times v2
Onde:
  • é a área da seção inicial (no caso, a mangueira).
  • é a velocidade do fluido na seção inicial.
  • é a área total da seção final (nos furos do borrifador).
  • é a velocidade do fluido na seção final.

Passo 3

Primeiramente, precisamos calcular a área da mangueira. A fórmula da área de um círculo é:
A = pi times (d2)^2
Onde A1 = pi times (0,375)^2 approx 0,4418 po<=gadas^2 é o diâmetro. Para a mangueira:
  • Diâmetro da mangueira ( ) = 0,75 polegadas
  • Raio da mangueira ( ) = polegadas
Assim, a área da mangueira ( ) é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a área total dos 24 furos do borrifador. Primeiro, calculamos a área de um furo:
  • Diâmetro de um furo ( Af = pi times (0,025)^2 approx 0,0019635 po<=gadas^2 ) = 0,050 polegadas
  • Raio de um furo ( A2 = 24 times 0,0019635 approx 0,047124 po<=gadas^2 ) = polegadas
Área de um furo ( ):
Como são 24 furos, a área total ( ) é:

Passo 5

Sabemos que a velocidade da água na mangueira ( 1 pé = 12 po<=gadas ) é de 3,5 pés por segundo. Precisamos converter essa velocidade para polegadas por segundo para manter as unidades consistentes:
v1 = 3,5 times 12 = 42 po<=gadas por segundo é
Portanto,

Passo 6

Agora, aplicando o Princípio da Continuidade:
A1 times v1 = A2 times v2
Queremos encontrar v2 = A1 times v1A2 , então isolamos essa variável:
v2 = 0,4418 times 420,047124 approx 18,56760,047124 approx 394 po<=gadas por segundo
Substituindo os valores:

Resposta

A velocidade da água que sai pelos furos do borrifador é aproximadamente 394 polegadas por segundo.

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