Uma mangueira de jardim com diâmetro interno de 1,9 cm está conectada a um irrigador de gramado que consiste meramente em um recipiente com 24 furos, cada um com 0,13 cm de diâmetro. Se a água tem na mangueira uma velocidade de 0,91 m / s, a que velocidade ela deixa os furos do irrigador?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma mangueira com diâmetro interno de 1,9 cm conectada a um irrigador que tem 24 furos, cada um com diâmetro de 0,13 cm. A água na mangueira está saindo com uma velocidade de 0,91 m/s. Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade da água saindo dos furos do irrigador.
Vamos usar o Princípio de Continuidade, que faz parte da matéria de Mecânica dos Fluídos. Esse princípio diz que, para um fluido incompressível como a água, o fluxo de água deve ser constante em diferentes seções do tubo. Ou seja, o que entra na mangueira deve sair dos furos do irrigador mantendo o mesmo fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do Princípio de Continuidade:
A1 cdot v1 = A2 cdot v2
Aqui:
  • é a área da seção da mangueira.
  • é a velocidade da água na mangueira.
  • é a área total das saídas dos furos do irrigador.
  • é a velocidade da água saindo dos furos, que é o que queremos descobrir.

Passo 3

Vamos calcular a área da mangueira ( A = pi cdot (d2)^2 ) e a área total dos furos do irrigador ( A1 = pi cdot (0,95)^2 approx pi cdot 0,9025 approx 2,838 cm^2 ).
A área de um círculo é dada por:
Onde é o diâmetro.
Primeiro, calculamos :
  • Diâmetro da mangueira: 1,9 cm
  • Raio da mangueira: cm

Passo 4

Agora, vamos calcular a área total dos 24 furos ( Afuro = pi cdot (0,065)^2 approx pi cdot 0,004225 approx 0,0133 cm^2 ).
Primeiro, calculamos a área de um furo:
  • Diâmetro de cada furo: 0,13 cm
  • Raio de cada furo: A2 = 24 cdot 0,0133 approx 0,3192 cm^2 cm
Como são 24 furos:

Passo 5

Agora que temos v2 = A1 cdot v1A2 e v2 = 2,838 cm^2 cdot 0,91 m/s0,3192 cm^2 , podemos usar a fórmula do Princípio de Continuidade para encontrar v2 = 2,838 times 10^-4 m^2 cdot 0,91 m/s0,3192 times 10^-4 m^2 approx 2,585 times 10^-40,3192 times 10^-4 approx 8,096 m/s :
Substituindo os valores:
Antes de calcular, é importante transformar as unidades para manter a consistência. Vamos converter e de cm² para m²:
Então:

Resposta

A velocidade da água saindo dos furos do irrigador é aproximadamente 8,1 metros por segundo.

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