Modelos de torpedos são algumas vezes testados em um tubo horizontal onde escoa água, como um túnel de vento é usado para testar alguns modelos de aeroplanos. Considere um tubo circular de diâmetro interno de
e um modelo de torpedo alinhado ao longo do extenso eixo do tubo. O modelo tem
de diâmetro e deve ser testado com água escoando por ele a
. (a) Com que velocidade a água deve fluir na parte do tubo não obstruída pelo modelo? (b) Qual será a diferença de pressão entre as regiões obstruída e não obstruída do tubo?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um tubo circular de diâmetro interno de
onde um modelo de torpedo com diâmetro de
está alinhado no eixo do tubo. A água está escoando pelo modelo a uma velocidade de
.
Conteúdo da matéria: Vamos usar a equação da continuidade para a parte (a), que nos ajuda a entender como a velocidade do fluido muda quando a área pela qual ele passa muda. Para a parte (b), vamos aplicar o princípio de Bernoulli, que relaciona pressão e velocidade em diferentes pontos do fluxo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as áreas das diferentes partes do tubo. A área de um círculo é dada por:
Onde
é o diâmetro.
-
Área total do tubo (
): -
Área ocupada pelo modelo (
):
Passo 3
Agora, vamos encontrar a área não obstruída (
):
Passo 4
Parte (a): Queremos achar a velocidade da água na parte não obstruída do tubo. Para isso, usamos a equação da continuidade, que diz que o fluxo deve ser conservado:
Onde:
-
= área do modelo = -
= velocidade no modelo = -
= área não obstruída = -
= velocidade na parte não obstruída (o que queremos encontrar)
Rearranjando para encontrar
:
Passo 5
Parte (b): Agora, queremos encontrar a diferença de pressão entre as regiões obstruída e não obstruída do tubo. Para isso, usamos o princípio de Bernoulli, que para duas regiões pode ser escrito como:
Onde:
-
= pressão na região obstruída -
= pressão na região não obstruída -
= densidade da água ( ) -
= velocidade na região obstruída = -
= velocidade na região não obstruída =
Queremos a diferença de pressão (
):
Rearranjando a equação de Bernoulli:
Substituindo os valores:
Calculando cada parte:
Como a diferença de pressão é negativa, significa que a pressão na região obstruída é menor que na região não obstruída.
Resposta
(a) A velocidade da água na parte não obstruída do tubo é aproximadamente
.
(b) A diferença de pressão entre as regi��es obstruída e não obstruída do tubo é de cerca de
(a pressão na região obstruída é menor).