Modelos de torpedos são algumas vezes testados em um tubo horizontal onde escoa água, como um túnel de vento é usado para testar alguns modelos de aeroplanos. Considere um tubo circular de diâmetro interno de e um modelo de torpedo alinhado ao longo do extenso eixo do tubo. O modelo tem de diâmetro e deve ser testado com água escoando por ele a . (a) Com que velocidade a água deve fluir na parte do tubo não obstruída pelo modelo? (b) Qual será a diferença de pressão entre as regiões obstruída e não obstruída do tubo?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um tubo circular de diâmetro interno de onde um modelo de torpedo com diâmetro de está alinhado no eixo do tubo. A água está escoando pelo modelo a uma velocidade de .
Conteúdo da matéria: Vamos usar a equação da continuidade para a parte (a), que nos ajuda a entender como a velocidade do fluido muda quando a área pela qual ele passa muda. Para a parte (b), vamos aplicar o princípio de Bernoulli, que relaciona pressão e velocidade em diferentes pontos do fluxo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as áreas das diferentes partes do tubo. A área de um círculo é dada por:
Onde é o diâmetro.
  • Área total do tubo ( ):
  • Área ocupada pelo modelo ( ):

Passo 3

Agora, vamos encontrar a área não obstruída ( ãí):
ãí

Passo 4

Parte (a): Queremos achar a velocidade da água na parte não obstruída do tubo. Para isso, usamos a equação da continuidade, que diz que o fluxo deve ser conservado:
Onde:
  • = área do modelo =
  • = velocidade no modelo =
  • = área não obstruída =
  • = velocidade na parte não obstruída (o que queremos encontrar)
Rearranjando para encontrar :

Passo 5

Parte (b): Agora, queremos encontrar a diferença de pressão entre as regiões obstruída e não obstruída do tubo. Para isso, usamos o princípio de Bernoulli, que para duas regiões pode ser escrito como:
Onde:
  • = pressão na região obstruída
  • = pressão na região não obstruída
  • = densidade da água ( )
  • = velocidade na região obstruída =
  • = velocidade na região não obstruída =
Queremos a diferença de pressão ( ):
Rearranjando a equação de Bernoulli:
Substituindo os valores:
Calculando cada parte:
Como a diferença de pressão é negativa, significa que a pressão na região obstruída é menor que na região não obstruída.

Resposta

(a) A velocidade da água na parte não obstruída do tubo é aproximadamente .
(b) A diferença de pressão entre as regi��es obstruída e não obstruída do tubo é de cerca de (a pressão na região obstruída é menor).

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