Em um mapa, os municípios A, B e C representam os vértices de um triângulo retângulo, e o ângulo reto está em A. A estrada A B tem 80 km, e a estrada B C tem 100 km. Um rio impede a construção de uma estrada que ligará diretamente o município A ao município C. Por esse motivo, projetou-se uma estrada saindo do município A e perpendicular à estrada B C para que ela seja a mais curta possível. Qual é o comprimento da estrada que será construída?

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício fala sobre um triângulo retângulo com vértices nos municípios A, B e C, onde o ângulo reto está em A. As estradas AB e BC têm, respectivamente, 80 km e 100 km. Devido a um rio, não dá para construir uma estrada direta de A para C. Por isso, querem construir uma estrada saindo de A e perpendicular à estrada BC, de forma que seja a mais curta possível. Vamos usar geometria básica e o Teorema de Pitágoras para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que no triângulo retângulo ABC, onde o ângulo reto está em A, podemos calcular a terceira estrada, AC, usando o Teorema de Pitágoras. Esse teorema diz que, em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Aqui, BC é a hipotenusa.
Então, temos:
AC = raizBC^2 - AB^2 = raiz100^2 - 80^2 = raiz10000 - 6400 = raiz3600 = 60 km

Passo 3

Agora, para encontrar o comprimento da estrada que será construída, que sai de A e é perpendicular a BC, precisamos calcular a altura do triângulo em relação à base BC. Essa altura é a estrada que queremos.
Sabemos que a área de um triângulo pode ser calculada de duas maneiras:
  1. Usando a base e a altura: Área = 12 times 80 times 60 = 2400 km^2 Á
  2. Usando dois catetos em um triângulo retângulo: Área = 12 times 100 times h Á
Vamos igualar as duas expressões para encontrar a altura (que é a estrada que buscamos).
Calculando a área usando os catetos:
2400 = 12 times 100 times h Rightarrow 2400 = 50h Rightarrow h = 240050 = 48 km Á
Calculando a área usando a base BC e a altura h:
Á
Igualando as duas:

Resposta

A estrada que será construída tem 48 km de comprimento.

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