Em um triângulo , o lado mede 30 cm. Se traçarmos uma reta paralela ao lado B C do triângulo, ela vai cortar o lado A B no ponto D e o lado A C no ponto E. Sabendo que A E=15 cm e E C=9 cm, determine as medidas x (do segmento A D) e y (do segmento D B). Faça o esboço da figura e justifique seus cálculos.
Passo 1
Entendendo o problema e os conceitos envolvidos
Estamos lidando com um problema de geometria envolvendo triângulos e proporções. Temos um triângulo ABC com o lado AB medindo 30 cm. Traçamos uma reta paralela ao lado BC que corta AB no ponto D e AC no ponto E. Sabemos que AE = 15 cm e EC = 9 cm, e precisamos encontrar as medidas de x (segmento AD) e y (segmento DB).
Para resolver este problema, vamos utilizar o Teorema de Tales, que nos ajuda a estabelecer proporções entre segmentos de retas paralelas cortadas por transversais.
Passo 2
Aplicando o Teorema de Tales
Como a reta DE é paralela a BC, podemos afirmar que os triângulos ADE e ABC são semelhantes. Isso significa que os lados correspondentes desses triângulos são proporcionais.
A semelhança dos triângulos nos permite escrever a seguinte proporção:
ADAB = AEAC
Passo 3
Calculando o comprimento de AC
Sabemos que AE = 15 cm e EC = 9 cm. Portanto, o comprimento total de AC é:
AC = AE + EC = 15,cm + 9,cm = 24,cm
Passo 4
Estabelecendo a proporção e resolvendo para x
Substituímos os valores conhecidos na proporção estabelecida:
ADAB = AEAC implies x30 = 1524
Resolvendo para x:
x = 30 times 1524
x = 30 times 58 (simplificando 1524 para 58)
x = 1508 = 18,75,cm
Passo 5
Encontrando o valor de y
Sabemos que y = DB e que AB = AD + DB, ou seja:
y = AB - AD = 30,cm - 18,75,cm = 11,25,cm
Passo 6
Esboço da figura
Embora não possamos desenhar aqui, imagine o triângulo ABC com a base AB = 30 cm. A reta DE é paralela a BC e corta AB em D e AC em E. Com AE = 15 cm e EC = 9 cm, determinamos que AD = 18,75 cm e DB = 11,25 cm.