Uma máquina de 1GDL e com massa 3 kg vibra em um meio viscoso. Determine a constante de amortecimento sabendo que quando uma força de excitação harmônica de amplitude 12,50N é aplicada resulta em um deslocamento de 1,10 cm do sistema com um período de 0,15 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma máquina com 1 grau de liberdade (1GDL) e massa de 3 kg que está vibrando em um meio viscoso. Quando aplicamos uma força harmônica de 12,50 N, o deslocamento resultante é de 1,10 cm e o período da vibração é de 0,15 s. Nosso objetivo aqui é determinar a constante de amortecimento dessa máquina. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de movimento harmônico forçado e amortecimento em sistemas vibratórios.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos. O deslocamento de 1,10 cm será convertido para metros:
x = 1,10 , cm = 0,011 , m

Passo 3

Sabemos que o período omega = 2piT está relacionado à frequência angular omega = 2pi0,15 , s approx 41,89 , rad/s pela fórmula:
Substituindo o valor dado:

Passo 4

No movimento harmônico forçado com amortecimento, o deslocamento de amplitude x = Fraiz(k - momega^2)^2 + (comega)^2 é dado por:
Onde:
  • é a amplitude da força aplicada,
  • é a rigidez da mola,
  • é a massa,
  • é a frequência angular,
  • é a constante de amortecimento que queremos encontrar.

Passo 5

Primeiro, precisamos encontrar a rigidez omegan = raizkm da mola. No caso de vibração livre (sem amortecimento e sem força externa), a frequência natural é:
Como não temos diretamente, mas temos a frequência sob força, vamos assumir que pode ser relacionada com os dados fornecidos. Porém, para simplificar, vamos rearranjar a equação do deslocamento para resolver em termos de .

Passo 6

Rearranjando a equação do deslocamento para isolar x = Fraiz(k - momega^2)^2 + (comega)^2 :
x^2 = F^2(k - momega^2)^2 + (comega)^2
Elevando ambos os lados ao quadrado:
x^2 ( (k - momega^2)^2 + (comega)^2 ) = F^2
Multiplicando ambos os lados pela expressão do denominador:
x^2 (comega)^2 = F^2
Para simplificar, vamos assumir que (situação de ressonância), o que simplifica nossa equação:

Passo 7

Isolando (comega)^2 = F^2x^2 :
comega = Fx
c = Fxomega

Passo 8

Agora, substituímos os valores que temos:
c = 12,50 , N0,011 , m times 41,89 , rad/s approx 12,500,46079 approx 27,14 , kg/s

Resposta

A constante de amortecimento é aproximadamente 27,14 kg/s.

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