Uma máquina de 1GDL e com massa
vibra em um meio viscoso. Determine a constante de amortecimento sabendo que quando uma força de excitação harmônica de amplitude 12,50N é aplicada resulta em um deslocamento de
do sistema com um período de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma máquina com 1 grau de liberdade (1GDL) e massa de 3 kg que está vibrando em um meio viscoso. Quando aplicamos uma força harmônica de 12,50 N, o deslocamento resultante é de 1,10 cm e o período da vibração é de 0,15 s. Nosso objetivo aqui é determinar a constante de amortecimento dessa máquina. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de movimento harmônico forçado e amortecimento em sistemas vibratórios.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos. O deslocamento de 1,10 cm será convertido para metros:
Passo 3
Sabemos que o período
está relacionado à frequência angular
pela fórmula:
Substituindo o valor dado:
Passo 4
No movimento harmônico forçado com amortecimento, o deslocamento de amplitude
é dado por:
Onde:
-
é a amplitude da força aplicada, -
é a rigidez da mola, -
é a massa, -
é a frequência angular, -
é a constante de amortecimento que queremos encontrar.
Passo 5
Primeiro, precisamos encontrar a rigidez
da mola. No caso de vibração livre (sem amortecimento e sem força externa), a frequência natural
é:
Como não temos
diretamente, mas temos a frequência sob força, vamos assumir que
pode ser relacionada com os dados fornecidos. Porém, para simplificar, vamos rearranjar a equação do deslocamento para resolver em termos de
.
Passo 6
Rearranjando a equação do deslocamento para isolar
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Multiplicando ambos os lados pela expressão do denominador:
Para simplificar, vamos assumir que
(situação de ressonância), o que simplifica nossa equação:
Passo 7
Isolando
:
Passo 8
Agora, substituímos os valores que temos:
Resposta
A constante de amortecimento é aproximadamente 27,14 kg/s.
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com
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Quanto deve ser a rigidez para que a força transmitida seja de ?
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