Uma máquina de 1GDL e com massa vibra em um meio viscoso. Determine a constante de amortecimento sabendo que quando uma força de excitação harmônica de amplitude 12,50N é aplicada resulta em um deslocamento de do sistema com um período de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma máquina com 1 grau de liberdade (1GDL) e massa de 3 kg que está vibrando em um meio viscoso. Quando aplicamos uma força harmônica de 12,50 N, o deslocamento resultante é de 1,10 cm e o período da vibração é de 0,15 s. Nosso objetivo aqui é determinar a constante de amortecimento dessa máquina. Para resolver isso, vamos precisar dos conceitos de movimento harmônico forçado e amortecimento em sistemas vibratórios.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos. O deslocamento de 1,10 cm será convertido para metros:

Passo 3

Sabemos que o período está relacionado à frequência angular pela fórmula:
Substituindo o valor dado:

Passo 4

No movimento harmônico forçado com amortecimento, o deslocamento de amplitude é dado por:
Onde:
  • é a amplitude da força aplicada,
  • é a rigidez da mola,
  • é a massa,
  • é a frequência angular,
  • é a constante de amortecimento que queremos encontrar.

Passo 5

Primeiro, precisamos encontrar a rigidez da mola. No caso de vibração livre (sem amortecimento e sem força externa), a frequência natural é:
Como não temos diretamente, mas temos a frequência sob força, vamos assumir que pode ser relacionada com os dados fornecidos. Porém, para simplificar, vamos rearranjar a equação do deslocamento para resolver em termos de .

Passo 6

Rearranjando a equação do deslocamento para isolar :
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Multiplicando ambos os lados pela expressão do denominador:
Para simplificar, vamos assumir que (situação de ressonância), o que simplifica nossa equação:

Passo 7

Isolando :

Passo 8

Agora, substituímos os valores que temos:

Resposta

A constante de amortecimento é aproximadamente 27,14 kg/s.

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