Um sistema de 1 GDL com massa 500 kg possui frequência natural de 224,60 cpm com zeta=0,20. Se o sistema possui desbalanceado gerando uma força F=100 sen(40t), determine:
Quanto deve ser a rigidez para que a força transmitida seja de 20 N ?

Passo 1

Vamos resumir o problema: Temos um sistema de um grau de liberdade (GDL) com uma massa de , frequência natural de (ciclos por minuto) e coeficiente de amortecimento . Esse sistema está submetido a uma força desbalanceada dada por . Nosso objetivo é determinar a rigidez necessária para que a força transmitida seja de .
Vamos precisar dos conceitos de frequência natural, relação entre rigidez e frequência, e como calcular a força transmitida em um sistema vibratório.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a frequência natural de 1, cpm = 2pi60, rad/s para radianos por segundo, que é a unidade padrão na maioria das fórmulas de vibração.
Sabemos que:
omegan = 224,60 times 2pi60 approx 23,56, rad/s
Então,

Passo 3

A frequência natural omegan = raizkm de um sistema de GDL está relacionada à rigidez k = m cdot omegan^2 e à massa k = 500, kg times (23,56, rad/s)^2 pela fórmula:
k = 500 times 554,3 approx 277.150, N/m
Queremos encontrar , então rearranjamos a equação:
Substituindo os valores:
Mas precisamos ajustar para que a força transmitida seja .

Passo 4

A força transmitida Ft = F0raiz(1 - r^2)^2 + (2zeta r)^2 em um sistema vibratório é dada por:
onde:
  • é a amplitude da força aplicada,
  • é a razão entre a frequência da força aplicada e a frequência natural .
Queremos que quando e .
Vamos substituir os valores na fórmula e resolver para .

Passo 5

Primeiro, expressamos r = omegaomegan = 40omegan :
omegan = raizk500
Queremos encontrar k = 500 cdot omegan^2 , que está relacionado com 20 = 100raiz(1 - (40omegan)^2)^2 + (2 times 0,20 times 40omegan)^2 :
20100 = 1raiz(1 - (40omegan)^2)^2 + (0,4 times 40omegan)^2
0,2 = 1raiz(1 - (1600omegan^2))^2 + (16omegan)^2
Agora substituímos raiz(1 - 1600omegan^2)^2 + 256omegan^2 = 5 na expressão da força transmitida:
(1 - 1600omegan^2)^2 + 256omegan^2 = 25
Simplificando:
1 - 3200omegan^2 + 1600^2omegan^4 + 256omegan^2 = 25
1 - 2944omegan^2 + 2560000omegan^4 = 25
Invertendo ambos os lados:
2560000omegan^4 - 2944omegan^2 - 24 = 0
Elevando ao quadrado ambos os lados:
2560000 y^2 - 2944 y - 24 = 0
Expandindo e simplificando:
y = 2944 pm raiz2944^2 + 4 times 2560000 times 242 times 2560000
y = 2944 pm raiz8666116 + 2457600005120000
y = 2944 pm raiz254,426,1165120000
Essa é uma equação quadrática em termos de y = 2944 pm 159485120000 :
y = 2944 + 159485120000 approx 188925120000 approx 0,00369
Resolvendo a equação quadrática:
omegan^2 = 1y approx 10,00369 approx 271
omegan = raiz271 approx 16,46, rad/s
Consideramos somente a solução positiva:
Então:

Resposta

A rigidez necessária para que a força transmitida seja de é aproximadamente .

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