Um sistema de 1 GDL com massa 500 kg possui frequência natural de 224,60 cpm com zeta=0,20. Se o sistema possui desbalanceado gerando uma força F=100 sen(40t), determine:
A transmissibilidade?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos um sistema com um grau de liberdade (GDL) analisando vibrações. A massa do sistema é de 500 , kg, a frequência natural é de 224,60 , cpm (ciclos por minuto) e o coeficiente de amortecimento é zeta = 0,20. O sistema está sofrendo uma força desbalanceada representada por F = 100 sin(40t). Nosso objetivo aqui é determinar a transmissibilidade, que basicamente nos diz quanta vibração é transmitida através do sistema.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de vibrações mecânicas, como frequência natural, frequência forçada, e como calcular a transmissibilidade utilizando a teoria das vibrações.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a frequência natural de ciclos por minuto (cpm) para radianos por segundo (rad/s), já que isso facilita os cálculos posteriores. A fórmula para essa conversão é:
omegan = 2pi fn60
Onde:
  • fn é a frequência natural em cpm.
Substituindo os valores:
omegan = 2pi times 224,6060 approx 23,56 , rad/s

Passo 3

Agora, vamos identificar a frequência da força aplicada. A força é dada por F = 100 sin(40t). Aqui, o coeficiente de 40 corresponde à frequência forçada omega em rad/s. Então:
omega = 40 , rad/s

Passo 4

A transmissibilidade ( Tr) é dada pela fórmula:
Tr = raiz1 + (2zeta r)^2(1 - r^2)^2 + (2zeta r)^2
Onde:
  • r = omegaomegan é a relação entre a frequência forçada e a frequência natural.
  • zeta é o coeficiente de amortecimento.
Vamos calcular r primeiro:
r = 4023,56 approx 1,70

Passo 5

Agora, substituímos os valores de r e zeta na fórmula da transmissibilidade:
Tr = raiz1 + (2 times 0,20 times 1,70)^2(1 - (1,70)^2)^2 + (2 times 0,20 times 1,70)^2
Calculando passo a passo:
  1. Calcular 2zeta r:
2 times 0,20 times 1,70 = 0,68
  1. Elevar ao quadrado:
(0,68)^2 = 0,4624
  1. Calcular (1 - r^2):
1 - (1,70)^2 = 1 - 2,89 = -1,89
  1. Elevar ao quadrado:
(-1,89)^2 = 3,5721
  1. Agora, substituir de volta na fórmula:
Tr = raiz1 + 0,46243,5721 + 0,4624 = raiz1,46244,0345 approx raiz0,362 approx 0,602

Resposta

A transmissibilidade do sistema é aproximadamente 0,602.

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