Um sistema de 1 GDL com massa 500 kg possui frequência natural de 224,60 cpm com zeta=0,20. Se o sistema possui desbalanceado gerando uma força F=100 sen(40t), determine:
A amplitude de vibração do bloco?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre um sistema de vibração com uma massa de 500 kg, frequência natural de 224,60 cpm (ciclos por minuto) e um fator de amortecimento ζ igual a 0,20. Além disso, temos uma força vibratória aplicada, que é . Nosso objetivo aqui é encontrar a amplitude da vibração desse bloco. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vibrações forçadas em sistemas de um grau de liberdade, especialmente focando em como a força externa afeta a amplitude da vibração.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a frequência natural de ciclos por minuto (cpm) para radianos por segundo, já que as fórmulas que vamos usar trabalham com essas unidades. Sabemos que:
omegan = 2pi times f60
Onde é a frequência natural em rad/s e é a frequência em cpm.

Passo 3

Aplicando os valores:
omegan = 2pi times 224,6060 approx 1410,9760 approx 23,52 , rad/s

Passo 4

Agora, identificamos a frequência da força aplicada, que é dada por omega = 40 , rad/s . O coeficiente de dentro do seno é a frequência angular da força ( ), então temos:

Passo 5

Para encontrar a amplitude da vibração, usamos a fórmula da amplitude X = F0/mraiz(omegan^2 - omega^2)^2 + (2zetaomeganomega)^2 em sistemas amortecidos forçados:
Onde:
  • é a amplitude da força aplicada (100 N)
  • é a massa (500 kg)
  • é a frequência natural (23,52 rad/s)
  • é a frequência da força (40 rad/s)
  • é o fator de amortecimento (0,20)

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
X = 100/500raiz(23,52^2 - 40^2)^2 + (2 times 0,20 times 23,52 times 40)^2
Simplificando:
X = 0,2raiz(552,3104 - 1600)^2 + (3,768 times 40)^2 = 0,2raiz(-1047,6896)^2 + (150,72)^2

Passo 7

Calculando os quadrados:
(-1047,6896)^2 approx 1.096.953,2 (150,72)^2 approx 22.716,52
Somando:
1.096.953,2 + 22.716,52 approx 1.119.669,72

Passo 8

Agora, extraímos a raiz quadrada:
raiz1.119.669,72 approx 1058,08

Passo 9

Finalmente, calculamos a amplitude:
X = 0,21058,08 approx 0,000189 , m , ou , 0,189 , mm

Resposta

A amplitude de vibração do bloco é aproximadamente 0,189 mm.

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