Um sistema de 1 GDL com massa 500 kg possui frequência natural de 224,60 cpm com zeta=0,20. Se o sistema possui desbalanceado gerando uma força F=100 sen(40t), determine:
A força transmitida ao solo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de 1 Grau de Liberdade (1 GDL) com uma massa de 500 kg. A frequência natural desse sistema é de 224,60 cpm (ciclos por minuto) e o coeficiente de amortecimento é ζ = 0,20. Além disso, há uma força desequilibrada agindo sobre o sistema, dada por F = 100 sen(40t). Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a força que está sendo transmitida ao solo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas vibratórios e como calcular a força transmitida usando conceitos de frequência natural, amortecimento e resposta forçada.

Passo 2

Primeiro, precisamos converter a frequência natural de ciclos por minuto (cpm) para radianos por segundo (rad/s), pois é a unidade padrão para cálculos em sistemas dinâmicos. A fórmula para essa conversão é:
omegan = 2pi times f60
Onde:
  • omegan = 2pi times 224,6060 approx 23,53 , rad/s é a frequência natural em rad/s
  • é a frequência em cpm
Vamos calcular isso:

Passo 3

Agora, vamos analisar a força de excitação. A força está dada por:
F(t) = 100 cdot sin(40t)
Aqui, a frequência de excitação Ftrans = F0m cdot omegan^2raiz(1 - r^2)^2 + (2zeta r)^2 é 40 rad/s.
Para encontrar a força transmitida ao solo, precisamos calcular a resposta do sistema a essa força forçada. A força transmitida pode ser encontrada usando a fórmula da transmissibilidade para sistemas vibratórios amortecidos:
Onde:
  • é a amplitude da força aplicada (100 N)
  • é a massa (500 kg)
  • é a frequência natural (23,53 rad/s)
  • é a frequência de excitação (40 rad/s)
  • é a razão de frequência

Passo 4

Vamos calcular a razão de frequência r = omegaomegan = 4023,53 approx 1,70 :
Ftrans = 100500 cdot (23,53)^2raiz(1 - (1,70)^2)^2 + (2 times 0,20 times 1,70)^2
Agora, substituímos todos os valores na fórmula da transmissibilidade:

Passo 5

Primeiro, calculamos o numerador:
100500 = 0,2
(23,53)^2 approx 554,07
Agora, o denominador:
1 - (1,70)^2 = 1 - 2,89 = -1,89
(-1,89)^2 = 3,5721
2 times 0,20 times 1,70 = 0,68
(0,68)^2 = 0,4624
Agora, somamos:
raiz3,5721 + 0,4624 = raiz4,0345 approx 2,0086

Passo 6

Agora, juntando tudo:
Ftrans = 0,2 times 554,072,0086 approx 0,2 times 275,93 approx 55,19 , N

Resposta

A força transmitida ao solo é aproximadamente 55,19 N.

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