Um sistema de 1 GDL com massa possui frequência natural de com . Se o sistema possui desbalanceado gerando uma força sen(40t), determine:
A força transmitida ao solo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de 1 Grau de Liberdade (1 GDL) com uma massa de 500 kg. A frequência natural desse sistema é de 224,60 cpm (ciclos por minuto) e o coeficiente de amortecimento é ζ = 0,20. Além disso, há uma força desequilibrada agindo sobre o sistema, dada por F = 100 sen(40t). Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a força que está sendo transmitida ao solo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas vibratórios e como calcular a força transmitida usando conceitos de frequência natural, amortecimento e resposta forçada.

Passo 2

Primeiro, precisamos converter a frequência natural de ciclos por minuto (cpm) para radianos por segundo (rad/s), pois é a unidade padrão para cálculos em sistemas dinâmicos. A fórmula para essa conversão é:
Onde:
  • é a frequência natural em rad/s
  • é a frequência em cpm
Vamos calcular isso:

Passo 3

Agora, vamos analisar a força de excitação. A força está dada por:
Aqui, a frequência de excitação é 40 rad/s.
Para encontrar a força transmitida ao solo, precisamos calcular a resposta do sistema a essa força forçada. A força transmitida pode ser encontrada usando a fórmula da transmissibilidade para sistemas vibratórios amortecidos:
Onde:
  • é a amplitude da força aplicada (100 N)
  • é a massa (500 kg)
  • é a frequência natural (23,53 rad/s)
  • é a frequência de excitação (40 rad/s)
  • é a razão de frequência

Passo 4

Vamos calcular a razão de frequência :
Agora, substituímos todos os valores na fórmula da transmissibilidade:

Passo 5

Primeiro, calculamos o numerador:
Agora, o denominador:
Agora, somamos:

Passo 6

Agora, juntando tudo:

Resposta

A força transmitida ao solo é aproximadamente 55,19 N.

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