Máquina de Atwood, polia com massa. Considere a figura ao lado onde M1=3 0 k g e M2=2 0 k g a polia com massa M3=5 k g e raio R=10 cm. Dado que o mo- mento de inércia do disco é dado por I ducco =12 M3 R^2 e a corda ideal que liga os dois blocos não desliza na polia, faz a polia girar. Considerando que o sistema é liberto a partir do repouso calcule:
c) qual é o tempo para o bloco M1 cair de uma altura de 2 m ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema de Máquina de Atwood, que envolve dois blocos e uma polia com massa. A gente precisa encontrar o tempo que o bloco leva para cair 2 metros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional e leis do movimento de Newton. Vamos precisar das massas dos blocos, da massa e raio da polia, além do momento de inércia da polia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as forças atuando nos blocos e na polia. O bloco está descendo, enquanto o bloco está subindo. A polia com massa faz com que a rotação dela afete a aceleração do sistema.

Passo 3

Vamos calcular o momento de inércia da polia usando a fórmula dada:
I = 12 M3 R^2
Substituindo os valores:
I = 12 times 5,kg times (0.10,m)^2 = 12 times 5 times 0.01 = 0.025,kg cdot m^2

Passo 4

Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton para cada bloco e para a polia. Para o bloco M1 g - T1 = M1 a :
T2 - M2 g = M2 a
Para o bloco tau = I alpha :
a = R alpha Rightarrow alpha = aR
E para a polia, relacionando torque ( tau = T1 R - T2 R = R(T1 - T2) ) e momento de inércia:
R(T1 - T2) = I aR Rightarrow T1 - T2 = I aR^2
Como a corda não desliza, a aceleração linear está relacionada com a aceleração angular pela equação:
O torque sobre a polia é dado pela diferença das tensões:
Então:

Passo 5

Temos agora três equações:
  1. T1 = T2 + 2.5a
  2. 30g - (T2 + 2.5a) = 30a Rightarrow 30g - T2 - 2.5a = 30a Rightarrow 30g - T2 = 32.5a
  3. T2 = 20g + 20a
Vamos resolver essas equações para encontrar 30g - (20g + 20a) = 32.5a Rightarrow 10g = 52.5a Rightarrow a = 10g52.5 = 10 times 9.8152.5 approx 1.87, m/s^2 .
Primeiro, da equação 3:
Substituindo na equação 1:
Da equação 2:
Substituindo na equação anterior:

Passo 6

Agora que temos a aceleração s = 12 a t^2 , vamos usar a equação do movimento para encontrar o tempo t = raiz2sa = raiz2 times 21.87 approx raiz41.87 approx raiz2.14 approx 1.46, segundos :
Onde . Rearranjando:

Resposta

O bloco leva aproximadamente 1,46 segundos para cair 2 metros.

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