Uma máquina deprecia com o tempo. Depois de 5 anos de uso, ela tem seu valor reduzido em 1/2 do valor inicial. Considerando que a taxa de desvalorização seja proporcional ao valor da máquina, pergunta-se:

Passo 1

Vamos entender o enunciado: temos uma máquina cujo valor diminui com o tempo. Depois de 5 anos, o valor dela é reduzido para metade do valor inicial. A taxa de desvalorização é proporcional ao valor atual da máquina. Para resolver isso, vamos usar conceitos de depreciação exponencial, que envolve funções matemáticas que descrevem como algo diminui a uma taxa constante proporcional ao seu valor atual.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o valor da máquina ao longo do tempo. Se é o valor da máquina no tempo , e é o valor inicial, podemos expressar a depreciação como:
Aqui, é a taxa de depreciação que queremos encontrar, e é a base do logaritmo natural.

Passo 3

Sabemos que após 5 anos, o valor da máquina é metade do valor inicial. Podemos escrever isso como:
Substituindo na fórmula da depreciação:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a equação para encontrar . Primeiro, dividimos ambos os lados por :
Para resolver para , vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 5

Calculando o logaritmo natural de :
Portanto:
Cancelando o sinal negativo:

Passo 6

Agora, isolamos dividindo ambos os lados por 5:
Calculando o valor numérico:

Resposta

A taxa de desvalorização da máquina é aproximadamente 0,1386 por ano.

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