Uma máquina deprecia com o tempo. Depois de 5 anos de uso, ela tem seu valor reduzido em
do valor inicial. Considerando que a taxa de desvalorização seja proporcional ao valor da máquina, pergunta-se:
Passo 1
Vamos entender o enunciado: temos uma máquina cujo valor diminui com o tempo. Depois de 5 anos, o valor dela é reduzido para metade do valor inicial. A taxa de desvalorização é proporcional ao valor atual da máquina. Para resolver isso, vamos usar conceitos de depreciação exponencial, que envolve funções matemáticas que descrevem como algo diminui a uma taxa constante proporcional ao seu valor atual.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o valor da máquina ao longo do tempo. Se
é o valor da máquina no tempo
, e
é o valor inicial, podemos expressar a depreciação como:
Aqui,
é a taxa de depreciação que queremos encontrar, e
é a base do logaritmo natural.
Passo 3
Sabemos que após 5 anos, o valor da máquina é metade do valor inicial. Podemos escrever isso como:
Substituindo na fórmula da depreciação:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a equação para encontrar
. Primeiro, dividimos ambos os lados por
:
Para resolver para
, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 5
Calculando o logaritmo natural de
:
Portanto:
Cancelando o sinal negativo:
Passo 6
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por 5:
Calculando o valor numérico:
Resposta
A taxa de desvalorização da máquina é aproximadamente 0,1386 por ano.
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a)
b)
c)