(1 , 0 ) 2 ) Em uma máquina de elevação de cargas, uma força está sendo aplicada para girar uma barra horizontal a partir de um ponto fixo. A barra está situada em um plano xy, e a força é aplicada a uma distância r do ponto de rotação.
A força aplicada é dada por:
F=6 imath+4 jmath-3 k
A posição do ponto de aplicação da força em relação ao ponto de rotação é dada por:
r=2 imath+5 jmath+3 k
O torque é calculado pelo produto vetorial entre o vetor posição e o vetor força:
tau=r times F
Calcule:
(0,5) b) Em seguida, determine a magnitude do torque (módulo) e a direção do vetor torque (aplique a regra da mão direita).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre torque em uma máquina de elevação de cargas. A gente tem uma barra horizontal que está girando em torno de um ponto fixo no plano xy. Para isso, uma força está sendo aplicada a uma certa distância desse ponto de rotação. O que precisamos fazer é calcular a magnitude do torque e determinar a direção desse torque usando a regra da mão direita. Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é torque. O torque ( tau) é uma medida de quanto uma força pode causar a rotação de um objeto em torno de um ponto. Ele é calculado pelo produto vetorial entre a posição ( r) onde a força é aplicada e a força ( F) em si:
tau = r times F
Isso nos dá um vetor que indica tanto a intensidade quanto a direção do torque.

Passo 3

Vamos identificar os vetores que temos:
r = 2 imath + 5 jmath + 3 k
F = 6 imath + 4 jmath - 3 k

Passo 4

Agora, vamos calcular o produto vetorial r times F. Para isso, usamos a seguinte matriz determinante:
tau = imath & jmath & k 2 & 5 & 3 6 & 4 & -3

Passo 5

Desenvolvendo o determinante, temos:
tau = imath cdot (5 cdot (-3) - 3 cdot 4) - jmath cdot (2 cdot (-3) - 3 cdot 6) + k cdot (2 cdot 4 - 5 cdot 6)
Calculando cada parte:
imath: 5 cdot (-3) = -15 e 3 cdot 4 = 12 Rightarrow -15 - 12 = -27
jmath: 2 cdot (-3) = -6 e 3 cdot 6 = 18 Rightarrow -6 - 18 = -24
k: 2 cdot 4 = 8 e 5 cdot 6 = 30 Rightarrow 8 - 30 = -22

Passo 6

Então, o vetor torque fica:
tau = -27 imath + 24 jmath - 22 k

Passo 7

Agora, vamos calcular a magnitude do torque. A magnitude de um vetor tau = taux imath + tauy jmath + tauz k é dada por:
|tau| = raiztaux^2 + tauy^2 + tauz^2
Substituindo os valores:
|tau| = raiz(-27)^2 + 24^2 + (-22)^2 = raiz729 + 576 + 484 = raiz1789 approx 42,31

Passo 8

Para determinar a direção do vetor torque, usamos a regra da mão direita. Colocamos a mão direita de forma que os dedos apontem na direção de r e, então, os dedos se curvem na direção de F. O polegar apontará na direção do torque.
Observando os sinais de tau, sabemos que:
tau = -27 imath + 24 jmath - 22 k
Isso indica que o torque está apontando na direção negativa do eixo x, positiva do eixo y e negativa do eixo z.

Resposta

A magnitude do torque é aproximadamente 42,31 unidades, e sua direção é na direção do vetor -27 imath + 24 jmath - 22 k, determinada pela regra da mão direita.

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