(2,0) 1) Em um sistema estrutural de engenharia civil, duas forças estão sendo aplicados simultaneamente sobre um ponto P. Esses vetores representam as forças que atuam em direções e sentidos diferentes no ponto, e o objetivo é analisar como essas forças se combinam, qual o ângulo entre elas e qual o impacto delas no sistema.
Os vetores de força são dados por:
l F1=3 imath+3 jmath-2 k F2=2 imath+2 jmath+2 k
Determine:
(1,0) b) o ângulo entre as forças.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa questão onde temos duas forças aplicadas em um ponto na engenharia civil. O objetivo aqui é descobrir qual é o ângulo entre essas duas forças. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e produto escalar. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o ângulo entre dois vetores, usamos a fórmula do produto escalar. O produto escalar entre dois vetores F1 e F2 é dado por:
F1 cdot F2 = |F1| times |F2| times cos(theta)
Onde:
  • F1 cdot F2 é o produto escalar.
  • |F1| e |F2| são as magnitudes (normas) dos vetores.
  • theta é o ângulo entre eles.
Nosso objetivo é encontrar theta.

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar das duas forças.
Dados:
F1 = 3imath + 3jmath - 2k
F2 = 2imath + 2jmath + 2k
O produto escalar é calculado multiplicando componente a componente e somando:
F1 cdot F2 = (3)(2) + (3)(2) + (-2)(2) = 6 + 6 - 4 = 8

Passo 4

Agora, vamos calcular as magnitudes (normas) dos vetores F1 e F2.
A magnitude de um vetor F = aimath + bjmath + ck é dada por:
|F| = raiza^2 + b^2 + c^2
Calculando para F1:
|F1| = raiz3^2 + 3^2 + (-2)^2 = raiz9 + 9 + 4 = raiz22 approx 4,69
Calculando para F2:
|F2| = raiz2^2 + 2^2 + 2^2 = raiz4 + 4 + 4 = raiz12 approx 3,46

Passo 5

Agora que temos o produto escalar e as magnitudes dos vetores, podemos usar a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo theta:
F1 cdot F2 = |F1| times |F2| times cos(theta)
Rearranjando para encontrar cos(theta):
cos(theta) = F1 cdot F2|F1| times |F2|
Substituindo os valores:
cos(theta) = 84,69 times 3,46 approx 816,2 approx 0,494
Agora, para encontrar theta, usamos a função arco cosseno (ou inversa do cosseno):
theta = arccos(0,494) approx 60° (aproximadamente)

Resposta

O ângulo entre as duas forças é de aproximadamente 60 graus.

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