Mariquito está brincando com a corda de seu varal de roupas, sacudindo-a senoidalmente para cima e para baixo com uma frequência igual a 2,00 Hz e uma amplitude de 0,075 m. A velocidade da onda é v=12,0 m / s. No instante t=0 s, a extremidade de Mariquito possui um deslocamento negativo máximo e está em repouso. Suponha que nenhuma onda seja refletida de volta na extremidade afastada.
(d) Escreva a equação para o deslocamento em fun ãodo tempo na extremidade da corda que Mariquito segura.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo necessário para resolver. Aqui, temos uma situação onde Mariquito está sacudindo a corda de um varal de roupas de forma senoidal. Precisamos encontrar a equação que descreve o deslocamento dessa extremidade da corda em função do tempo.
Conteúdos envolvidos:
  • Movimento senoidal
  • Função seno e cosseno
  • Conceitos de amplitude, frequência e velocidade de onda
Para resolver, vamos usar as equações que modelam movimentos senoidais, considerando a amplitude, frequência e a fase inicial do deslocamento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados fornecidos:
  • Frequência (f): 2,00 Hz
  • Amplitude (A): 0,075 m
  • Velocidade da onda (v): 12,0 m/s
  • Condição inicial: No instante t = 0 s, o deslocamento é negativo máximo e está em repouso.

Passo 3

Vamos lembrar que a frequência (f) está relacionada ao período (T) pela fórmula:
T = 1f
Isso nos dá o tempo que leva para completar um ciclo completo da onda.
Calculando o período:
T = 12,00, Hz = 0,5, s

Passo 4

A equação geral para um movimento senoidal pode ser escrita de duas formas: usando seno ou cosseno. A escolha entre uma ou outra depende das condições iniciais do movimento.
A forma geral com seno é:
y(t) = A cdot sin(2pi f t + phi)
E com cosseno:
y(t) = A cdot cos(2pi f t + phi)
Onde:
  • $ y(t) $ é o deslocamento em função do tempo
  • $ A $ é a amplitude
  • $ f $ é a frequência
  • $ \phi $ é a fase inicial

Passo 5

Vamos determinar a fase inicial ($ \phi $) com base na condição inicial fornecida: no instante $ t = 0 $ s, o deslocamento é negativo máximo e está em repouso.
Isso significa que no tempo zero, a posição é mínima (deslocamento negativo máximo) e a velocidade é zero.
Sabemos que:
  • A função seno atinge seu valor mínimo quando $ \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 $
  • A função cosseno atinge seu valor mínimo quando $ \cos(\pi) = -1 $
Como a função está em repouso no instante $ t = 0 $, a derivada (velocidade) deve ser zero. A derivada do cosseno é o seno, que é zero em $ \cos(\pi) = -1 $, atendendo à condição de velocidade zero.
Portanto, é mais adequado usar a função cosseno com fase inicial $ \phi = \pi $.

Passo 6

Substituindo os valores na equação do cosseno:
y(t) = A cdot cos(2pi f t + phi)
Onde:
  • $ A = 0,075, m $
  • $ f = 2,00, Hz $
  • $ \phi = \pi $
Então:
A = 0,075, m

Passo 7

Podemos simplificar a equação multiplicando os valores:
y(t) = 0,075 cdot cos(4pi t + pi)
Essa é a equação que descreve o deslocamento da extremidade da corda em função do tempo.

Resposta

y(t) = 0,075 cdot cos(4pi t + pi)

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