Mariquito está brincando com a corda de seu varal de roupas, sacudindo-a senoidalmente para cima e para baixo com uma frequência igual a
e uma amplitude de
. A velocidade da onda é
. No instante
, a extremidade de Mariquito possui um deslocamento negativo máximo e está em repouso. Suponha que nenhuma onda seja refletida de volta na extremidade afastada.
(d) Escreva a equação para o deslocamento em fun ãodo tempo na extremidade da corda que Mariquito segura.
(d) Escreva a equação para o deslocamento em fun ãodo tempo na extremidade da corda que Mariquito segura.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo necessário para resolver. Aqui, temos uma situação onde Mariquito está sacudindo a corda de um varal de roupas de forma senoidal. Precisamos encontrar a equação que descreve o deslocamento dessa extremidade da corda em função do tempo.
Conteúdos envolvidos:
- Movimento senoidal
- Função seno e cosseno
- Conceitos de amplitude, frequência e velocidade de onda
Para resolver, vamos usar as equações que modelam movimentos senoidais, considerando a amplitude, frequência e a fase inicial do deslocamento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os dados fornecidos:
- Frequência (f): 2,00 Hz
- Amplitude (A): 0,075 m
- Velocidade da onda (v): 12,0 m/s
- Condição inicial: No instante t = 0 s, o deslocamento é negativo máximo e está em repouso.
Passo 3
Vamos lembrar que a frequência (f) está relacionada ao período (T) pela fórmula:
Isso nos dá o tempo que leva para completar um ciclo completo da onda.
Calculando o período:
Passo 4
A equação geral para um movimento senoidal pode ser escrita de duas formas: usando seno ou cosseno. A escolha entre uma ou outra depende das condições iniciais do movimento.
A forma geral com seno é:
E com cosseno:
Onde:
- $ y(t) $ é o deslocamento em função do tempo
- $ A $ é a amplitude
- $ f $ é a frequência
- $ \phi $ é a fase inicial
Passo 5
Vamos determinar a fase inicial ($ \phi $) com base na condição inicial fornecida: no instante $ t = 0 $ s, o deslocamento é negativo máximo e está em repouso.
Isso significa que no tempo zero, a posição é mínima (deslocamento negativo máximo) e a velocidade é zero.
Sabemos que:
- A função seno atinge seu valor mínimo quando $ \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 $
- A função cosseno atinge seu valor mínimo quando $ \cos(\pi) = -1 $
Como a função está em repouso no instante $ t = 0 $, a derivada (velocidade) deve ser zero. A derivada do cosseno é o seno, que é zero em $ \cos(\pi) = -1 $, atendendo à condição de velocidade zero.
Portanto, é mais adequado usar a função cosseno com fase inicial $ \phi = \pi $.
Passo 6
Substituindo os valores na equação do cosseno:
Onde:
- $ A = 0,075, m $
- $ f = 2,00, Hz $
- $ \phi = \pi $
Então:
Passo 7
Podemos simplificar a equação multiplicando os valores:
Essa é a equação que descreve o deslocamento da extremidade da corda em função do tempo.