Mariscos Zebra são mariscos de água doce que se agarram a qualquer coisa que possam achar. Apareceram primeiro no Rio St. Lawrence no começo da década de 80. Estão subindo o rio e podem se espalhar pelos Grandes Lagos. Suponha que numa pequena baía o número de mariscos zebra ao tempo t seja dado por Z(t) = 300 t^2, onde t é medido em meses desde que esses mariscos apareceram nesse lugar. Assim: A que taxa a população está crescendo em quatro meses?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiramente, vamos entender o que o exercício está nos perguntando. Temos uma função que nos mostra o número de mariscos zebra ao longo do tempo, representada por , onde é o tempo em meses desde que os mariscos apareceram na baía. A questão quer saber: A que taxa a população está crescendo em quatro meses?
O conteúdo envolvido aqui é Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de taxa de variação, que nos ajuda a entender como uma quantidade está mudando em relação ao tempo. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função em relação a e então avaliar essa derivada em meses.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função em determinado ponto nos dá a taxa de variação instantânea dessa função naquele ponto. No nosso caso, a derivada de em relação a nos dirá como está crescendo a população de mariscos zebra em qualquer instante de tempo.
A função que temos é . Vamos calcular a derivada dessa função em relação a .

Passo 3

Para calcular a derivada, usamos as regras de derivação básicas. A regra que vamos usar aqui é a da potência, que diz que se temos , onde e são constantes, então a derivada .
Aplicando essa regra à nossa função:
A derivada será:

Passo 4

Agora que temos a expressão da derivada , podemos descobrir a taxa de crescimento da população de mariscos zebra em qualquer valor de . O exercício pede para encontrarmos essa taxa em quatro meses, ou seja, quando .
Vamos substituir por 4 na expressão da derivada:

Passo 5

Realizando a multiplicação:
Isso significa que, no quarto mês, a população de mariscos zebra está crescendo a uma taxa de 2400 mariscos por mês.

Resposta

A taxa de crescimento da população de mariscos zebra em quatro meses é de 2400 mariscos por mês.

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