Sabe-se que o volume de um cubo é função de seu lado. Assim, determine a taxa de variação do volume em relação ao lado quando este mede 5 uc. [Nota: pense em como você indicará a unidade da taxa de variação]

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que trata da relação entre o volume de um cubo e o comprimento de seu lado. O volume de um cubo é uma função do lado . Para encontrar a taxa de variação do volume em relação ao lado quando unidades de comprimento (uc), vamos usar derivadas, que medem como uma quantidade muda em relação a outra.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar o volume do cubo em função do lado . Sabemos que:
Isso significa que se aumentarmos o lado do cubo, o volume aumenta rapidamente, pois o volume depende do lado elevado ao cubo.

Passo 3

Para encontrar a taxa de variação do volume em relação ao lado, vamos calcular a derivada de em relação a :
A derivada de em relação a é:
Isso nos dá a fórmula para a taxa de variação do volume em qualquer valor de .

Passo 4

Agora, substituímos uc na derivada para encontrar a taxa de variação específica:
A unidade da taxa de variação será a unidade de volume dividida pela unidade de comprimento, ou seja, .

Resposta

A taxa de variação do volume em relação ao lado quando o lado mede 5 uc é .

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