Sabe-se que o volume de um cubo é função de seu lado. Assim, determine a taxa de variação do volume em relação ao lado quando este mede 5 uc. [Nota: pense em como você indicará a unidade da taxa de variação]
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que trata da relação entre o volume de um cubo e o comprimento de seu lado. O volume de um cubo é uma função do lado . Para encontrar a taxa de variação do volume em relação ao lado quando unidades de comprimento (uc), vamos usar derivadas, que medem como uma quantidade muda em relação a outra.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar o volume do cubo em função do lado . Sabemos que:
Isso significa que se aumentarmos o lado do cubo, o volume aumenta rapidamente, pois o volume depende do lado elevado ao cubo.
Passo 3
Para encontrar a taxa de variação do volume em relação ao lado, vamos calcular a derivada de em relação a :
A derivada de em relação a é:
Isso nos dá a fórmula para a taxa de variação do volume em qualquer valor de .
Passo 4
Agora, substituímos uc na derivada para encontrar a taxa de variação específica:
A unidade da taxa de variação será a unidade de volume dividida pela unidade de comprimento, ou seja, .
Resposta
A taxa de variação do volume em relação ao lado quando o lado mede 5 uc é .