Marque a opção cujos vetores não formam uma base de R^3: u=(2,1,-1), v=(4,7,3), w=(-2,5,7)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar se os vetores , e formam uma base de ou não. Para isso, precisamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a ideia de base e independência linear. Vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes, ou seja, se nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros. Se forem independentes, formam uma base; se não, não formam.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar esses vetores em uma matriz, onde cada vetor será uma coluna dessa matriz. Isso fica assim:
A = 2 & 4 & -2 1 & 7 & 5 -1 & 3 & 7

Passo 3

Agora, para verificar se os vetores são linearmente independentes, vamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes; se for zero, eles são dependentes.

Passo 4

Vamos calcular o determinante de det(A) = 2 cdot (7 cdot 7 - 5 cdot 3) - 4 cdot (1 cdot 7 - (-1) cdot 5) + (-2) cdot (1 cdot 3 - 7 cdot (-1)) :
det(A) = 2 cdot (49 - 15) - 4 cdot (7 + 5) + (-2) cdot (3 + 7)
Calculando passo a passo:
det(A) = 2 cdot 34 - 4 cdot 12 + (-2) cdot 10
det(A) = 68 - 48 - 20
det(A) = 0

Resposta

Como o determinante é zero ( ), os vetores , e não são linearmente independentes e, portanto, não formam uma base de .

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