Suponhamos fixada uma base ortonormal. Considere os pontos , e .
(d) mostre que a distância do ponto à reta pode ser calculada como
e calcule assim esta distância (numericamente);
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a distância do ponto à reta que passa pelos pontos e . Para isso, vamos usar a matéria de Geometria Analítica no espaço, especificamente a fórmula da distância entre um ponto e uma reta. Vamos precisar entender vetores, produto vetorial e normas de vetores para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o vetor que representa a direção da reta PQ = Q - P = (-1 - 2, 2 - (-1), 1 - 0) = (-3, 3, 1) . Isso é feito subtraindo as coordenadas de de :
Esse vetor indica a direção da reta.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor que vai de PA = A - P = (-2 - 2, 3 - (-1), 1 - 0) = (-4, 4, 1) até . Fazemos isso subtraindo as coordenadas de de :
Esse vetor conecta o ponto ao ponto .
Passo 4
Para encontrar a distância entre o ponto d = |PQ times PA||PQ| e a reta , usamos a fórmula:
Aqui, representa o produto vetorial entre os vetores e , e representa a norma (ou comprimento) do vetor resultante.
Passo 5
Vamos calcular o produto vetorial PQ times PA = i & j & k -3 & 3 & 1 -4 & 4 & 1 . Usando a fórmula do produto vetorial: