Suponhamos fixada uma base ortonormal. Considere os pontos A=(-2,3,1), B=(0,0,1), C=(1,1,-2), P=(2,-1,0) e Q=(-1,2,1).
(d) mostre que a distância d do ponto A à reta over<=ftrightarrowP Q pode ser calculada como
d=|R S wed>= R A||R S|
e calcule assim esta distância (numericamente);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a distância do ponto à reta que passa pelos pontos e . Para isso, vamos usar a matéria de Geometria Analítica no espaço, especificamente a fórmula da distância entre um ponto e uma reta. Vamos precisar entender vetores, produto vetorial e normas de vetores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor que representa a direção da reta PQ = Q - P = (-1 - 2, 2 - (-1), 1 - 0) = (-3, 3, 1) . Isso é feito subtraindo as coordenadas de de :
Esse vetor indica a direção da reta.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor que vai de PA = A - P = (-2 - 2, 3 - (-1), 1 - 0) = (-4, 4, 1) até . Fazemos isso subtraindo as coordenadas de de :
Esse vetor conecta o ponto ao ponto .

Passo 4

Para encontrar a distância entre o ponto d = |PQ times PA||PQ| e a reta , usamos a fórmula:
Aqui, representa o produto vetorial entre os vetores e , e representa a norma (ou comprimento) do vetor resultante.

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial PQ times PA = i & j & k -3 & 3 & 1 -4 & 4 & 1 . Usando a fórmula do produto vetorial:
i(3 cdot 1 - 1 cdot 4) - j(-3 cdot 1 - 1 cdot (-4)) + k(-3 cdot 4 - 3 cdot (-4)) = i(-1) - j(1) + k(0) = (-1, -1, 0)
Calculando o determinante:
Então, .

Passo 6

Agora, vamos calcular a norma do vetor resultante:
|PQ times PA| = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2
E a norma de |PQ| = raiz(-3)^2 + 3^2 + 1^2 = raiz9 + 9 + 1 = raiz19 :

Passo 7

Finalmente, substituímos os valores na fórmula da distância:
d = raiz2raiz19 = raiz2raiz19 approx 0,325

Resposta

A distância do ponto à reta é aproximadamente unidades.

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