Não é um subespaço vetorial de
: O conjunto dos polinômios da forma
, tais que
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto
dos polinômios do segundo grau da forma
, onde
. Queremos verificar se esse conjunto
não é um subespaço vetorial do espaço
(o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2). Para isso, vamos utilizar os conceitos de subespaço vetorial e verificar se todas as condições necessárias são atendidas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é chamado de subespaço vetorial se:
- Contém o vetor zero: O vetor nulo de
está em . - É fechado sob adição: Se
e pertencem a , então também pertence a . - É fechado sob multiplicação por escalar: Se
pertence a e é um escalar, então também pertence a .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando se
contém o vetor zero:
O vetor zero em
é o polinômio
. Vamos ver se esse polinômio pertence a
:
Para
e
, temos
, ou seja,
, o que é verdadeiro. Portanto, o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Verificando se
é fechado sob adição:
Sejam dois polinômios quaisquer
e
pertencentes a
. Então, temos que:
Vamos somar
e
:
Para que
pertença a
, deve-se ter:
Substituindo
e
:
A igualdade é verdadeira, então
pertence a
. Portanto,
é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificando se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Seja
pertencente a
e
um escalar qualquer. Então,
.
Vamos multiplicar
por
:
Para que
pertença a
, deve-se ter:
Substituindo
:
A igualdade é verdadeira, então
pertence a
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Após verificar as três condições, podemos concluir que o conjunto
satisfaz todas elas:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Isso significa que
é um subespaço vetorial de
.
Resposta
O conjunto dos polinômios da forma
, onde
, é um subespaço vetorial de
, já que satisfaz todas as condições necessárias para ser um subespaço.