Não é um subespaço vetorial de P2 : O conjunto dos polinômios da forma a0+a1 x+a2 x^2, tais que a0=2 a2.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o conjunto dos polinômios do segundo grau da forma , onde . Queremos verificar se esse conjunto não é um subespaço vetorial do espaço (o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2). Para isso, vamos utilizar os conceitos de subespaço vetorial e verificar se todas as condições necessárias são atendidas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é chamado de subespaço vetorial se:
  1. Contém o vetor zero: O vetor nulo de está em .
  2. É fechado sob adição: Se e pertencem a , então também pertence a .
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se pertence a e é um escalar, então também pertence a .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se contém o vetor zero:
O vetor zero em é o polinômio . Vamos ver se esse polinômio pertence a :
Para e , temos , ou seja, , o que é verdadeiro. Portanto, o vetor zero está em .

Passo 4

2. Verificando se p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 + b2)x^2 é fechado sob adição:
Sejam dois polinômios quaisquer a0 + b0 = 2(a2 + b2) e 2a2 + 2b2 = 2(a2 + b2) pertencentes a 2(a2 + b2) = 2(a2 + b2) . Então, temos que:
Vamos somar e :
Para que pertença a , deve-se ter:
Substituindo e :
A igualdade é verdadeira, então pertence a . Portanto, é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificando se c cdot p(x) = c a0 + c a1 x + c a2 x^2 é fechado sob multiplicação por escalar:
Seja c a0 = 2 (c a2) pertencente a c cdot 2a2 = 2c a2 e 2c a2 = 2c a2 um escalar qualquer. Então, .
Vamos multiplicar por :
Para que pertença a , deve-se ter:
Substituindo :
A igualdade é verdadeira, então pertence a . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Após verificar as três condições, podemos concluir que o conjunto satisfaz todas elas:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.
Isso significa que é um subespaço vetorial de .

Resposta

O conjunto dos polinômios da forma , onde , é um subespaço vetorial de , já que satisfaz todas as condições necessárias para ser um subespaço.

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