Seja
o espaço das funções polinomiais reais de grau menor ou igual a dois. Definimos em
Considere o o subespacgo
de
gerado por
.
b) Se a resposta de a) for afrmativa determine uma base ortonormal para
.
b) Se a resposta de a) for afrmativa determine uma base ortonormal para
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um espaço chamado
, que é o conjunto de todas as funções polinomiais de grau no máximo 2. A gente define um tipo de “produto” entre duas funções
e
que é dado por:
Agora, estamos olhando para um subespaço
de
gerado pelas funções
e
. A pergunta é: se a resposta da parte a) for positiva, como a gente pode encontrar uma base ortonormal para
? Básicamente, a gente quer encontrar duas funções em
que sejam ortogonais entre si e que cada uma tenha “comprimento” 1, de acordo com o produto interno definido.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma base ortonormal. Uma base ortonormal é um conjunto de vetores (ou funções, nesse caso) que são todos ortogonais entre si e cada um tem norma (ou comprimento) igual a 1. Para conseguir isso, a gente vai usar o processo de Gram-Schmidt, que transforma um conjunto de vetores (ou funções) em um conjunto ortonormal.
Passo 3
Vamos começar com as funções que geram
:
e
.
Primeiro, vamos normalizar
. Para isso, calculamos a norma de
usando o produto interno:
Então, a primeira função ortonormal
é:
Passo 4
Agora, vamos tornar
ortogonal a
. Para isso, subtraímos de
a projeção de
em
:
Calculando
:
Então,
Agora, subtraímos essa projeção de
:
Passo 5
Agora, vamos normalizar
:
Então, a segunda função ortonormal
é:
Resposta
Uma base ortonormal para
é: