Seja P2 o espaço das funções polinomiais reais de grau menor ou igual a dois. Definimos em P2
lang<= f, grang<==integral-1^1 f(t) g(t) d t
Considere o o subespacgo W de P2 gerado por p(t)=1, q(t)=1-t.
b) Se a resposta de a) for afrmativa determine uma base ortonormal para W.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um espaço chamado lang<= f, g rang<= = integral-1^1 f(t) g(t) dt , que é o conjunto de todas as funções polinomiais de grau no máximo 2. A gente define um tipo de “produto” entre duas funções e que é dado por:
Agora, estamos olhando para um subespaço de gerado pelas funções e . A pergunta é: se a resposta da parte a) for positiva, como a gente pode encontrar uma base ortonormal para ? Básicamente, a gente quer encontrar duas funções em que sejam ortogonais entre si e que cada uma tenha “comprimento” 1, de acordo com o produto interno definido.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa uma base ortonormal. Uma base ortonormal é um conjunto de vetores (ou funções, nesse caso) que são todos ortogonais entre si e cada um tem norma (ou comprimento) igual a 1. Para conseguir isso, a gente vai usar o processo de Gram-Schmidt, que transforma um conjunto de vetores (ou funções) em um conjunto ortonormal.

Passo 3

Vamos começar com as funções que geram | p | = raiz lang<= p, p rang<= = raiz integral-1^1 1 cdot 1 , dt = raiz integral-1^1 1 , dt = raiz2 : u1(t) = p(t) | p | = 1raiz2 e .
Primeiro, vamos normalizar . Para isso, calculamos a norma de usando o produto interno:
Então, a primeira função ortonormal é:

Passo 4

Agora, vamos tornar proju1 q = lang<= q, u1 rang<= u1 ortogonal a lang<= q, u1 rang<= = integral-1^1 (1 - t) cdot 1raiz2 , dt = 1raiz2 integral-1^1 (1 - t) , dt = 1raiz2 [ 2 - 0 ] = 2raiz2 = raiz2 . Para isso, subtraímos de proju1 q = raiz2 cdot 1raiz2 = 1 a projeção de v2(t) = q(t) - proju1 q = (1 - t) - 1 = -t em :
Calculando :
Então,
Agora, subtraímos essa projeção de :

Passo 5

Agora, vamos normalizar | v2 | = raiz lang<= v2, v2 rang<= = raiz integral-1^1 (-t)^2 , dt = raiz integral-1^1 t^2 , dt = raiz 23 = raiz23 :
u2(t) = v2(t) | v2 | = -t raiz 23 = -t cdot raiz 32 = -raiz 32 , t
Então, a segunda função ortonormal é:

Resposta

Uma base ortonormal para 1raiz2, -raiz 32 , t é:

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