Marque a opção cujos vetores não formam uma base de R^3: u=(0,3,-3), v=(4,0,-1), w=(3,-1,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente identificar quais vetores não formam uma base de . Os vetores que a gente tem são , e . Vamos usar alguns conceitos de álgebra linear pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de é um conjunto de três vetores que são linearmente independentes, ou seja, nenhum dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros dois. Se forem independentes, esses vetores formam uma base.

Passo 3

Para verificar se os vetores são linearmente independentes, podemos calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes e formam uma base. Se for zero, eles são dependentes e não formam uma base.

Passo 4

Vamos montar a matriz A = 0 & 4 & 3 3 & 0 & -1 -3 & -1 & 0 com os vetores , e como colunas:
Agora, vamos calcular o determinante de .

Passo 5

O determinante de uma matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) é dado por:
det(A) = 0(0 cdot 0 - (-1)(-1)) - 4(3 cdot 0 - (-1)(-3)) + 3(3 cdot (-1) - 0 cdot (-3))
Aplicando isso na nossa matriz:

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
det(A) = 0(0 - 1) - 4(0 - 3) + 3(-3 - 0) = 0 + 12 - 9 = 3

Passo 7

Como o determinante é , que é diferente de zero, os vetores , e são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de .

Resposta

Os vetores , e formam uma base de .

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