Marque a opção cujos vetores não formam uma base de R^3: u=(1,0,-3), v=(1,1,1), w=(0,5,0)

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma pergunta sobre vetores no espaço tridimensional, mais especificamente no espaço R^3. A questão pede para identificar qual conjunto de vetores não forma uma base para R^3. A base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e geram todo o espaço. Para verificar isso, vamos precisar analisar se os vetores dados são linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa linearmente independente. Vetores são linearmente independentes se nenhuma combinação linear deles resulta no vetor zero, a não ser que todos os coeficientes sejam zero. Para três vetores em R^3, uma maneira prática de verificar isso é calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos montar a matriz com os vetores u, v e w como colunas:
A = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 5 -3 & 1 & 0

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3 times 3 é calculado da seguinte forma:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando isso à nossa matriz:
det(A) = 1 cdot (1 cdot 0 - 5 cdot 1) - 1 cdot (0 cdot 0 - 5 cdot (-3)) + 0 cdot (0 cdot 1 - 1 cdot (-3))
det(A) = 1 cdot (0 - 5) - 1 cdot (0 + 15) + 0 cdot (0 + 3) = -5 - 15 + 0 = -20

Passo 5

O determinante calculado é -20, que é diferente de zero. Isso significa que os vetores u, v e w são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para R^3.

Resposta

Os vetores u=(1,0,-3), v=(1,1,1) e w=(0,5,0) formam uma base de R^3, já que o determinante da matriz formada por eles é diferente de zero.

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