Marque a opção cujos vetores não formam uma base de R^3: u=(1,0,3), v=(-2,1,4), w=(-1,3,5)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores no espaço tridimensional R^3:
  • u = (1, 0, 3)
  • v = (-2, 1, 4)
  • w = (-1, 3, 5)
Queremos saber se esses vetores formam ou não uma base para R^3. Para isso, precisamos verificar se eles são linearmente independentes e se geram todo o espaço R^3. Se ambos os critérios forem atendidos, eles formam uma base.

Passo 2

Para verificar a independência linear dos vetores, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e formam uma base.
A matriz formada pelos vetores u, v e w é:
A = 1 & -2 & -1 0 & 1 & 3 3 & 4 & 5

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz A. O determinante de uma matriz 3 times 3 pode ser calculado da seguinte forma:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde:
a & b & c d & e & f g & h & i
Aplicando isso à nossa matriz:
det(A) = 1 cdot (1 cdot 5 - 3 cdot 4) - (-2) cdot (0 cdot 5 - 3 cdot 3) + (-1) cdot (0 cdot 4 - 1 cdot 3)

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. Primeiro termo:
1 cdot (5 - 12) = 1 cdot (-7) = -7
  1. Segundo termo:
-(-2) cdot (0 - 9) = 2 cdot (-9) = -18
  1. Terceiro termo:
-1 cdot (0 - 3) = -1 cdot (-3) = 3

Passo 5

Agora, somamos todos os termos calculados:
-7 - 18 + 3 = -22
O determinante det(A) = -22, que é diferente de zero.

Resposta

Como o determinante é diferente de zero ( det(A) = -22 neq 0), os vetores u, v e w formam uma base para R^3. Portanto, a opção que contém esses vetores não está correta se buscamos vetores que não formam uma base.

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