Marque a opção cujos vetores não formam uma base de R^3: u=(1,1,7), v=(2,-1,3), w=(0,1,-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar se os vetores , e formam ou não uma base de . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente o conceito de base e independência linear. Para resolver isso, vamos precisar verificar se esses vetores são linearmente independentes e se eles geram o espaço .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma base. Em Álgebra Linear, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso de , precisamos de três vetores que não podem ser escritos como combinações lineares uns dos outros.

Passo 3

Para verificar se os vetores , e são linearmente independentes, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base de . Se for zero, eles são linearmente dependentes e não formam uma base.

Passo 4

Vamos montar a matriz com os vetores A = 1 & 2 & 0 1 & -1 & 1 7 & 3 & -1 , det(A) = 1 cdot ( (-1) cdot (-1) - 1 cdot 3 ) - 2 cdot ( 1 cdot (-1) - 7 cdot 1 ) + 0 cdot ( 1 cdot 3 - (-1) cdot 7 ) e det(A) = 1 cdot (1 - 3) - 2 cdot (-1 - 7) + 0 cdot (3 + 7) = 1 cdot (-2) - 2 cdot (-8) + 0 = -2 + 16 + 0 = 14 :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Simplificando:

Passo 5

Como o determinante da matriz é 14, que é diferente de zero, isso significa que os vetores , e são linearmente independentes. Portanto, eles formam uma base de .

Resposta

Os vetores , e formam uma base de .

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