Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas por . Nosso objetivo é primeiro marcar esse ponto no espaço e depois converter essas coordenadas cilíndricas para coordenadas retangulares (ou cartesianas). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre as coordenadas cilíndricas e como elas se relacionam com as coordenadas retangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são as coordenadas cilíndricas. Elas são representadas por , onde:
  • é a distância do ponto em relação ao eixo ,
  • é o ângulo em relação ao eixo , e
  • é a altura do ponto em relação ao plano .
Já as coordenadas retangulares são representadas por , onde:
  • e são as posições no plano ,
  • continua sendo a altura.
Para converter de coordenadas cilíndricas para retangulares, usamos as seguintes fórmulas:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essas fórmulas com os valores fornecidos no exercício: , , e .
Calculando :
Sabendo que , temos:
Calculando :
Sabendo que , temos:
E permanece o mesmo:

Resposta

As coordenadas retangulares do ponto são .

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Escreva as equações em coordenadas cilíndricas.
Mude de coordenadas retangulares para cilíndricas.
Escreva as equações em coordenadas cilíndricas.