Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um ponto definido por coordenadas esféricas:
. Nosso objetivo é primeiro localizar esse ponto no espaço e depois converter essas coordenadas esféricas para coordenadas retangulares (x, y, z). Para isso, vamos precisar saber como fazer essa conversão usando as fórmulas matemáticas adequadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas esféricas. Nesse sistema, um ponto é definido por três valores:
-
: a distância do ponto até a origem. -
: o ângulo entre o eixo z e a linha que vai da origem até o ponto. -
: o ângulo no plano xy a partir do eixo x até a projeção da linha sobre esse plano.
Passo 3
Agora, vamos usar as fórmulas para converter essas coordenadas esféricas para retangulares. As fórmulas são:
Essas fórmulas vão nos dar as coordenadas x, y e z do ponto no sistema retangular.
Passo 4
Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Sabemos que:
Agora, vamos calcular cada coordenada:
Para x:
Sabemos que
e
, então:
Para y:
Sabemos que
, então:
Para z:
Sabemos que
, então:
Resposta
As coordenadas retangulares do ponto são aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Sejam
funções vetoriais e
uma função real. Suponha que existam os limites de
e
quando
. Mostre que
.
Sejam
e
. Calcule
.
Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.
Mude de coordenadas retangulares para esféricas.
,