Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um ponto definido por coordenadas esféricas: . Nosso objetivo é primeiro localizar esse ponto no espaço e depois converter essas coordenadas esféricas para coordenadas retangulares (x, y, z). Para isso, vamos precisar saber como fazer essa conversão usando as fórmulas matemáticas adequadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas esféricas. Nesse sistema, um ponto é definido por três valores:
  • : a distância do ponto até a origem.
  • : o ângulo entre o eixo z e a linha que vai da origem até o ponto.
  • : o ângulo no plano xy a partir do eixo x até a projeção da linha sobre esse plano.

Passo 3

Agora, vamos usar as fórmulas para converter essas coordenadas esféricas para retangulares. As fórmulas são:
Essas fórmulas vão nos dar as coordenadas x, y e z do ponto no sistema retangular.

Passo 4

Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Sabemos que:
Agora, vamos calcular cada coordenada:
Para x:
Sabemos que e , então:
Para y:
Sabemos que , então:
Para z:
Sabemos que , então:

Resposta

As coordenadas retangulares do ponto são aproximadamente .

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Sejam funções vetoriais e uma função real. Suponha que existam os limites de e quando . Mostre que .
Sejam e . Calcule .
Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.
Mude de coordenadas retangulares para esféricas. ,