Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ponto definido em coordenadas esféricas como . Nosso objetivo é primeiro localizar esse ponto no espaço e depois converter essas coordenadas esféricas para coordenadas retangulares (ou cartesianas). Para isso, vamos precisar usar a relação entre coordenadas esféricas e retangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Elas são dadas por , onde:
  • é a distância do ponto até a origem.
  • é o ângulo no plano a partir do eixo (ângulo azimutal).
  • é o ângulo a partir do eixo (ângulo polar).
No nosso caso, , e .

Passo 3

Para converter de coordenadas esféricas para retangulares, usamos as seguintes fórmulas:
Essas fórmulas nos permitem encontrar as coordenadas , e no sistema retangular.

Passo 4

Vamos calcular cada coordenada passo a passo.
Primeiro, calculamos :
Sabemos que e , então:

Passo 5

Agora, calculamos :
Como , temos:

Passo 6

Por fim, calculamos :
Sabemos que , então:

Resposta

As coordenadas retangulares do ponto são .

Exercícios relacionados

Marque o ponto cujas coordenadas esféricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto.
Sejam funções vetoriais e uma função real. Suponha que existam os limites de e quando . Mostre que .
Mude de coordenadas retangulares para esféricas. ,
Escreva a equação em coordenadas esféricas. Esfera