Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com
e o outro com
.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para marcarmos o ponto com coordenadas polares
. Coordenadas polares usam dois valores: r, que é a distância do ponto à origem, e θ, que é o ângulo em radianos a partir do eixo positivo x. Além disso, precisamos encontrar dois outros pares de coordenadas para o mesmo ponto, um com r > 0 e outro com r < 0. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos básicos de coordenadas polares e como representá-las no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Aqui, r = 1 indica que o ponto está a uma distância de 1 unidade da origem. O ângulo θ = \frac{7\pi}{4} nos diz que o ponto está localizado no quarto quadrante do plano cartesiano, já que
é equivalente a 315 graus.
Passo 3
Para encontrar outras coordenadas do mesmo ponto, usamos a propriedade que adicionando ou subtraindo
ao ângulo θ, continuamos no mesmo local no plano. Então, podemos escrever:
- Com r > 0:
já atende a essa condição, mas vamos encontrar outro equivalente.
Podemos subtrair:
Passo 4
Agora, para encontrar uma coordenada com r < 0, precisamos inverter o sinal de r e adicionar
ao ângulo θ. Isso porque, em coordenadas polares, mudar o sinal de r e adicionar
ao ângulo nos leva ao mesmo ponto no plano.
Então:
Resposta
As coordenadas polares alternativas para o ponto
são:
- Com r > 0:
- Com r < 0:
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais indicadas.
(f) .
(f)
Obtenha os valores máximo e mínimo absolutos da função
no disco unitário
.
Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com
e o outro com
.
(b)
(b)
Calcule o valor dos limites usando as propriedades do limite.
(b)
(b)