Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com e o outro com .
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para marcarmos o ponto com coordenadas polares . Coordenadas polares usam dois valores: r, que é a distância do ponto à origem, e θ, que é o ângulo em radianos a partir do eixo positivo x. Além disso, precisamos encontrar dois outros pares de coordenadas para o mesmo ponto, um com r > 0 e outro com r < 0. Para resolver isso, vamos usar alguns conceitos básicos de coordenadas polares e como representá-las no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, r = 1 indica que o ponto está a uma distância de 1 unidade da origem. O ângulo θ = \frac{7\pi}{4} nos diz que o ponto está localizado no quarto quadrante do plano cartesiano, já que é equivalente a 315 graus.

Passo 3

Para encontrar outras coordenadas do mesmo ponto, usamos a propriedade que adicionando ou subtraindo ao ângulo θ, continuamos no mesmo local no plano. Então, podemos escrever:
  • Com r > 0:
    já atende a essa condição, mas vamos encontrar outro equivalente.
    Podemos subtrair :

Passo 4

Agora, para encontrar uma coordenada com r < 0, precisamos inverter o sinal de r e adicionar ao ângulo θ. Isso porque, em coordenadas polares, mudar o sinal de r e adicionar ao ângulo nos leva ao mesmo ponto no plano.
Então:

Resposta

As coordenadas polares alternativas para o ponto são:
  • Com r > 0:
  • Com r < 0:

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Determine as derivadas parciais indicadas.
(f) .
Obtenha os valores máximo e mínimo absolutos da função no disco unitário .
Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com e o outro com .
(b)
Calcule o valor dos limites usando as propriedades do limite.
(b)