Marta registrou o tempo, em minutos, que seus colegas gastam no percurso de casa à escola: 10, 120, 15, 20, 30, 30, 25, 60, 40, 40, 50, 30, 20, 15, 35, 35, 20, 60, 90, 90, 15. Determine:
a) a mediana desses valores.
b) a moda desses valores.
c) o tempo médio desse percurso.
d) Na sua opinião, que medida caracteriza melhor esse grupo de dados? Por quê?
a) a mediana desses valores.
b) a moda desses valores.
c) o tempo médio desse percurso.
d) Na sua opinião, que medida caracteriza melhor esse grupo de dados? Por quê?
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que a Marta propôs! Ela registrou os tempos, em minutos, que seus colegas levam para ir de casa até a escola. Nosso objetivo é encontrar a mediana, a moda, o tempo médio desse percurso e, por fim, discutir qual medida de tendência central descreve melhor esses dados. Para isso, vamos precisar entender o que são mediana, moda e média, e como calculá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a mediana. A mediana é o valor que está exatamente no meio de um conjunto de dados quando eles estão ordenados do menor para o maior. Se tiver um número ímpar de dados, a mediana é o valor do meio. Se for par, é a média dos dois valores centrais.
Passo 3
Vamos organizar os tempos em ordem crescente:
10, 15, 15, 15, 20, 20, 20, 25, 30, 30, 30, 35, 35, 40, 40, 50, 60, 60, 90, 90, 120.
10, 15, 15, 15, 20, 20, 20, 25, 30, 30, 30, 35, 35, 40, 40, 50, 60, 60, 90, 90, 120.
Passo 4
Agora, vamos contar quantos valores temos. São 21 dados. Como 21 é ímpar, a mediana será o valor que está na posição (21 + 1) / 2 = 11ª posição.
Passo 5
Contando até a 11ª posição na lista ordenada:
10 (1), 15 (2), 15 (3), 15 (4), 20 (5), 20 (6), 20 (7), 25 (8), 30 (9), 30 (10), 30 (11), 35 (12), 35 (13), 40 (14), 40 (15), 50 (16), 60 (17), 60 (18), 90 (19), 90 (20), 120 (21).
10 (1), 15 (2), 15 (3), 15 (4), 20 (5), 20 (6), 20 (7), 25 (8), 30 (9), 30 (10), 30 (11), 35 (12), 35 (13), 40 (14), 40 (15), 50 (16), 60 (17), 60 (18), 90 (19), 90 (20), 120 (21).
Passo 6
Então, a mediana é 30 minutos.
Passo 7
Agora, vamos para a moda. A moda é o valor que aparece com mais frequência no conjunto de dados. Olhando nossa lista ordenada, vamos contar quantas vezes cada número aparece:
- 10: 1 vez
- 15: 3 vezes
- 20: 3 vezes
- 25: 1 vez
- 30: 3 vezes
- 35: 2 vezes
- 40: 2 vezes
- 50: 1 vez
- 60: 2 vezes
- 90: 2 vezes
- 120: 1 vez
Passo 8
Vemos que os valores 15, 20 e 30 aparecem 3 vezes cada. Quando há mais de uma moda, dizemos que o conjunto de dados é multimodal. Aqui, a moda são 15, 20 e 30 minutos.
Passo 9
Agora, vamos calcular o tempo médio. A média é a soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores. A fórmula é:
Passo 10
Vamos somar todos os tempos:
10 + 15 + 15 + 15 + 20 + 20 + 20 + 25 + 30 + 30 + 30 + 35 + 35 + 40 + 40 + 50 + 60 + 60 + 90 + 90 + 120 = 705
10 + 15 + 15 + 15 + 20 + 20 + 20 + 25 + 30 + 30 + 30 + 35 + 35 + 40 + 40 + 50 + 60 + 60 + 90 + 90 + 120 = 705
Passo 11
Agora, dividimos pela quantidade de valores, que é 21:
Passo 12
Por fim, vamos pensar qual medida descreve melhor esses dados. A mediana, a moda e a média nos dão diferentes informações. A média foi influenciada por valores mais altos como 90 e 120, enquanto a mediana está mais centralizada. A moda mostra os valores mais frequentes. Considerando que há valores extremos que podem distorcer a média, a mediana pode ser a melhor medida para caracterizar esse grupo de dados, pois ela não é afetada por valores muito altos ou baixos e representa o ponto central dos tempos.
Resposta
a) A mediana dos valores é 30 minutos.
b) A moda dos valores é 15, 20 e 30 minutos.
c) O tempo médio desse percurso é aproximadamente 33,57 minutos.
d) A medida que melhor caracteriza esse grupo de dados é a mediana, pois ela não é influenciada por valores extremos e representa de forma mais precisa o valor central dos tempos registrados.