Uma massa de 1000 kg cai de uma altura de 10 m sobre uma plataforma de massa desprezível. Deseja-se desenhar uma mola e um amortecedor sobre os quais a plataforma será montada, da tal forma que ela possa atingir uma nova posição de equilíbrio 0,2 m abaixo da posição original tão depressa quanto possível, depois de sofrer o impacto, porém sem ultrapassá-la. (A) Determine a constante k da mola e a constante de amortecimento b do amortecedor. Certifique-se que a solução x(t) encontrada satisfaz as condições iniciais e que não ultrapasse a posição de equilíbrio; (B) Determine até dois
algarismos significativos, o tempo necessário para que a plataforma chegue a 1 mm de sua posição final.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma massa de 1000 kg que cai de uma altura de 10 metros e impacta uma plataforma. Queremos adicionar uma mola e um amortecedor na plataforma de forma que, após o impacto, ela atinja uma nova posição de equilíbrio 0,2 metros abaixo da posição original rapidamente, mas sem passar dessa posição (ou seja, sem “oscilar” além do ponto de equilíbrio).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica de vibrações, especificamente o sistema massa-mola-amortecedor. Precisaremos aplicar fórmulas que relacionam a constante da mola , a constante de amortecimento , a massa , e o deslocamento .

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a força que a massa exerce quando ela está na nova posição de equilíbrio. Isso ocorre quando a força da mola equilibra o peso da massa.
A força da mola é dada por:
Fmola = k cdot x
E o peso da massa é:
Fpeso = m cdot g
No equilíbrio, essas forças são iguais:
k cdot x = m cdot g
Queremos que a posição de equilíbrio seja k cdot 0,2 = 1000 cdot 9,81 m. Substituindo os valores:
k = 1000 cdot 9,810,2 = 49.050 , N/m

Passo 3

Agora, vamos determinar a constante de amortecimento b = 2 cdot raizk cdot m que garante que o sistema atinja o equilíbrio o mais rápido possível sem ultrapassar (ou seja, que seja criticamente amortecido).
O sistema é criticamente amortecido quando o amortecimento é tal que:
b = 2 cdot raiz49.050 cdot 1000 = 2 cdot raiz49.050.000 approx 2 cdot 7003,57 approx 14.007,14 , N·s/m
Substituindo os valores que já temos:

Resposta

A constante da mola é e a constante de amortecimento é .

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