Um oscilador harmônico sem amortecimento
, inicialmente em repouso, é submetido à ação de uma força dada por:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um oscilador harmônico sem amortecimento, ou seja, sem atrito, que está inicialmente parado. Uma força
está agindo sobre ele entre os tempos
e
. O que a gente precisa descobrir é a posição
desse oscilador ao longo do tempo. Vamos usar conceitos de física de movimentos harmônicos e equações diferenciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação que descreve o movimento de um oscilador harmônico sem amortecimento. A equação diferencial é dada por:
Aqui,
é a massa do oscilador,
é a constante da mola, e
é a força aplicada.
Passo 3
Como a força
é aplicada apenas entre
e
, podemos dividir o problema em dois casos:
- Antes da força ser aplicada (
): o oscilador está em repouso. - Durante e após a aplicação da força (
): a força está agindo e influenciando o movimento.
Passo 4
Vamos resolver a equação diferencial para cada intervalo de tempo.
-
Para
:
Como não há força agindo (), a equação fica: A solução geral dessa equação é:Onde. Como o oscilador está inicialmente em repouso, e , o que implica que e . Portanto, para . -
Para
:
A força está agindo, então a equação é:Podemos reescrever essa equação como:A solução geral é a soma da solução da homogênea e da particular:
Passo 5
Para encontrar as constantes
e
, usamos as condições de continuidade em
:
Sabemos que antes de
,
. Assim, aplicando as condições:
Resolvendo essas equações, encontramos
e
em termos de
,
,
, e
. Substituindo de volta na expressão de
, obtemos a posição
para
.
Resposta
A posição
do oscilador harmônico sem amortecimento é dada por: