Um oscilador harmônico sem amortecimento , inicialmente em repouso, é submetido à ação de uma força dada por:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um oscilador harmônico sem amortecimento, ou seja, sem atrito, que está inicialmente parado. Uma força está agindo sobre ele entre os tempos e . O que a gente precisa descobrir é a posição desse oscilador ao longo do tempo. Vamos usar conceitos de física de movimentos harmônicos e equações diferenciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação que descreve o movimento de um oscilador harmônico sem amortecimento. A equação diferencial é dada por:
Aqui, é a massa do oscilador, é a constante da mola, e é a força aplicada.

Passo 3

Como a força é aplicada apenas entre e , podemos dividir o problema em dois casos:
  1. Antes da força ser aplicada ( ): o oscilador está em repouso.
  2. Durante e após a aplicação da força ( ): a força está agindo e influenciando o movimento.

Passo 4

Vamos resolver a equação diferencial para cada intervalo de tempo.
  1. Para :
    Como não há força agindo ( ), a equação fica:
    A solução geral dessa equação é:
    Onde . Como o oscilador está inicialmente em repouso, e , o que implica que e . Portanto, para .
  2. Para :
    A força está agindo, então a equação é:
    Podemos reescrever essa equação como:
    A solução geral é a soma da solução da homogênea e da particular:

Passo 5

Para encontrar as constantes e , usamos as condições de continuidade em :
Sabemos que antes de , . Assim, aplicando as condições:
Resolvendo essas equações, encontramos e em termos de , , , e . Substituindo de volta na expressão de , obtemos a posição para .

Resposta

A posição do oscilador harmônico sem amortecimento é dada por:

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