Um oscilador harmônico sem amortecimento
, inicialmente em repouso, é submetido à ação de uma força dada por:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um oscilador harmônico sem amortecimento, ou seja, sem atrito, que está inicialmente parado. Uma força
está agindo sobre ele entre os tempos
e
. O que a gente precisa descobrir é a posição
desse oscilador ao longo do tempo. Vamos usar conceitos de física de movimentos harmônicos e equações diferenciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação que descreve o movimento de um oscilador harmônico sem amortecimento. A equação diferencial é dada por:
Aqui,
é a massa do oscilador,
é a constante da mola, e
é a força aplicada.
Passo 3
Como a força
é aplicada apenas entre
e
, podemos dividir o problema em dois casos:
- Antes da força ser aplicada (
): o oscilador está em repouso. - Durante e após a aplicação da força (
): a força está agindo e influenciando o movimento.
Passo 4
Vamos resolver a equação diferencial para cada intervalo de tempo.
-
Para
:
Como não há força agindo (), a equação fica: A solução geral dessa equação é:Onde. Como o oscilador está inicialmente em repouso, e , o que implica que e . Portanto, para . -
Para
:
A força está agindo, então a equação é:Podemos reescrever essa equação como:A solução geral é a soma da solução da homogênea e da particular:
Passo 5
Para encontrar as constantes
e
, usamos as condições de continuidade em
:
Sabemos que antes de
,
. Assim, aplicando as condições:
Resolvendo essas equações, encontramos
e
em termos de
,
,
, e
. Substituindo de volta na expressão de
, obtemos a posição
para
.
Resposta
A posição
do oscilador harmônico sem amortecimento é dada por:
Exercícios relacionados
Uma massa de 1000 kg cai de uma altura de 10 m sobre uma plataforma de massa desprezível. Deseja-se desenhar uma mola e um amortecedor sobre os quais a plataforma será montada, da tal forma que ela possa atingir uma nova posição de equilíbrio
abaixo da posição original tão depressa quanto possível, depois de sofrer o impacto, porém sem ultrapassá-la. (A) Determine a constante k da mola e a constante de amortecimento
do amortecedor. Certifique-se que a solução
encontrada satisfaz as condições iniciais e que não ultrapasse a posição de equilíbrio; (B) Determine até dois
algarismos significativos, o tempo necessário para que a plataforma chegue a 1 mm de sua posição final.
algarismos significativos, o tempo necessário para que a plataforma chegue a 1 mm de sua posição final.
Resolva o problema de projéteis utilizando a segunda lei de Newton, considerando o atrito nulo. (a) Obtenha as equações para
(para
). (b) Obtenha em detalhes a equação da trajetória deste projétil e faça um esboço do movimento indicando os valores de x (máximo) e z (máximo).
Ajuste a reta para o conjunto de pontos, aplicando o método de mínimos quadrados.
X | 1 | 3 | 4 | 6 | 8 | 9 | 11 | 14 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
y | 1 | 2 | 4 | 4 | 5 | 7 | 8 | 9 |
Mostre por meio de cálculos que o trabalho realizado pela força gravitacional durante o deslocamento
a
é dado pela expressão:
Explique o significado do negativo em
.