Seja um espaço vetorial de dimensão finita . Mostre que se é impar, não existe transformação linear tal que . Além disso, mostre que a afirmação anterior é falsa se é par.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial de dimensão finita . A pergunta é para mostrar que, se é ímpar, não existe uma transformação linear tal que a imagem de seja igual ao núcleo de . Além disso, precisamos mostrar que essa afirmação não vale quando é par.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como transformação linear, imagem ( ), núcleo ( ) e a relação entre as dimensões desses espaços. Vamos usar o Teorema do Núcleo e Imagem para nos ajudar nessa resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema do Núcleo e Imagem. Ele diz que, para uma transformação linear , temos:
No nosso caso, , então podemos reescrever como:

Passo 3

A questão quer que . Vamos chamar . Então, como , também temos .
Substituindo na equação do Teorema do Núcleo e Imagem:

Passo 4

Então, temos:
Isso significa que deve ser um número par, já que é igual a duas vezes algum inteiro . Se fosse ímpar, não haveria nenhum inteiro que satisfaça essa equação, o que implica que não pode existir uma transformação linear com quando é ímpar.

Passo 5

Agora, precisamos mostrar que quando é par, tal transformação existe. Vamos construir um exemplo.
Considere que . Podemos escolher uma base de e definir de forma que sua imagem e núcleo sejam subespaços de dimensão . Por exemplo, podemos definir como uma transformação que envia os primeiros vetores da base para os últimos vetores, e os últimos vetores para zero.
Dessa forma, temos:
[
\operatorname{Im} T ) é um subespaço de dimensão , e também é de dimensão , e eles são iguais.

Resposta

Portanto, mostramos que se é ímpar, não existe uma transformação linear tal que . Além disso, quando é par, tal transformação pode ser construída, provando que a afirmação é falsa nesse caso.

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