Uma massa m, move-se horizontalmente com velocidade em uma mesa sem atrito e atinge uma mola de constante de elástica k. A massa comprime a mola e então é lançada de volta com velocidade oposta. Supondo que não há perda de energia em lugar algum, descubra: (a) por quanto tempo a massa está em contato com a mola e (b) a distância (a partir do equilíbrio) de compressão máxima da mola (0,5). Suas respostas deverão ser expressões puramente algébricas, em termos de e (e possíveis fatores numéricos como , números inteiros).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma massa que está se movendo com uma velocidade inicial em uma mesa sem atrito. Quando essa massa bate em uma mola com constante elástica , ela comprime a mola e depois é empurrada de volta com velocidade oposta. A gente precisa descobrir duas coisas: (a) quanto tempo a massa fica em contato com a mola e (b) qual é a distância máxima que a mola é comprimida. Vamos usar conceitos de energia e movimento harmônico para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o tempo que a massa está em contato com a mola. Quando a massa começa a comprimir a mola, ela está passando por um movimento harmônico simples (MHS) por um certo tempo. A mola e a massa formam um sistema oscilatório com um período de oscilação completo dado por:
Mas, como a massa só comprime e depois volta, ela fica em contato com a mola por metade desse período. Portanto, o tempo de contato é:

Passo 3

Agora, vamos descobrir a distância máxima que a mola é comprimida. Aqui, vamos usar a conservação de energia. A energia cinética inicial da massa é totalmente convertida em energia potencial elástica na mola quando ela está totalmente comprimida. A energia cinética é:
E a energia potencial da mola é:
á
Igualando as duas energias:
á
Simplificando e resolvendo para á:
á

Resposta

(a) O tempo de contato com a mola é:
(b) A distância máxima de compressão da mola é:
á

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