A velocidade quadrática média das moléculas de um gás ideal é dada por vr m s= (3 R T / M)^0,5, onde R é a constante dos gases ideais, T é a temperatura e M é a massa molar do gás. Se os elétrons em uma estrela puderem ser considerados como moléculas de um gás, determine a temperatura da estrela se seus elétrons viajassem
b) (5 pontos) na velocidade da luz, c.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma fórmula que relaciona a velocidade quadrática média das moléculas de um gás ideal com a temperatura e a massa molar do gás:
vrms = raiz3RTM
Aqui, é a constante dos gases ideais, é a temperatura e é a massa molar do gás. O exercício nos pede para determinar a temperatura de uma estrela considerando que os elétrons nela se comportam como moléculas de um gás e estão viajando na velocidade da luz, .
Para resolver isso, vamos precisar:
  1. Isolar a temperatura na fórmula.
  2. Calcular a massa molar dos elétrons.
  3. Substituir os valores conhecidos na fórmula e resolver para .

Passo 2

Primeiro, vamos isolar a temperatura vrms = raiz3RTM Rightarrow vrms^2 = 3RTM Rightarrow T = vrms^2 M3R na fórmula da velocidade quadrática média:
Aqui, apenas rearranjamos a fórmula para resolver .

Passo 3

Agora, precisamos determinar a massa molar M = me times NA = 9,109 times 10^-31 , kg times 6,022 times 10^23 , mol^-1 M approx 5,486 times 10^-7 , kg/mol dos elétrons. A massa de um elétron individual é aproximadamente kg. Mas como estamos usando a massa molar, que é a massa por mole de partículas, multiplicamos a massa do elétron pelo número de Avogadro ( mol ):

Passo 4

Sabemos que a velocidade dos elétrons é a velocidade da luz, T = c^2 M3R T = (3,00 times 10^8)^2 times 5,486 times 10^-73 times 8,314 m/s. Vamos substituir , kg/mol e J/(mol·K) na fórmula que isolamos para :

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calculamos c^2 = (3,00 times 10^8)^2 = 9,00 times 10^16 , m^2/s^2 :
9,00 times 10^16 times 5,486 times 10^-7 = 4,9374 times 10^10
Agora, multiplicamos 3 times 8,314 = 24,942 por T = 4,9374 times 10^1024,942 approx 1,980 times 10^9 , K :
Em seguida, multiplicamos :
Finalmente, dividimos os dois resultados para encontrar :

Resposta

A temperatura da estrela seria aproximadamente Kelvin.

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