Uma massa se move em duas dimensões sob um potencial . Escreva o Lagrangeano usando as coordenadas ( ) e calcule as equações de movimento. Resp.: a) e

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de mecânica clássica onde uma massa se movimenta em duas dimensões sob a influência de um potencial . O que vamos precisar para resolver esse problema é o conceito de Lagrangeano, que é uma ferramenta poderosa na física para descrever o movimento de sistemas. Vamos usar as coordenadas e para escrever o Lagrangeano e, em seguida, encontrar as equações de movimento dessa massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Lagrangeano. O Lagrangeano é definido como a diferença entre a energia cinética e a energia potencial do sistema:
Então, precisamos calcular a energia cinética e a energia potencial da massa .

Passo 3

A energia cinética de uma massa que se move em duas dimensões é dada por:
Aqui, e representam as velocidades nas direções e , respectivamente.

Passo 4

A energia potencial já foi dada no enunciado:
Agora que temos e , podemos escrever o Lagrangeano :

Passo 5

Para encontrar as equações de movimento, usamos as equações de Euler-Lagrange. Para cada coordenada (neste caso, e ), temos:
Vamos aplicar isso para e separadamente.

Passo 6

Primeiro, para a coordenada :
Aplicando na equação de Euler-Lagrange:

Passo 7

Agora, para a coordenada :
Aplicando na equação de Euler-Lagrange:

Resposta

a) As equações de movimento são:

Exercícios relacionados

Um homem cujo peso é 600 N toma um elevador na metade de um edificio e pisa sobre uma balança. Quando o elevador começa a se mover, ele observa que a balança marca 720 N durante 5 s , a seguir marca 600 N durante 5 s , passados os quais o elevador pára no alto do edifício.
Determine a altura do edifício. Adote
No sistema indicado, não há atrito e os fios e as polias são ideais.
Sabendo que , e g , determine:
a) a aceleração do conjunto; a) 3.75 m ::
b) as trações nos fios; b) 68.75 N : 12.5 N
c) a forca que o corpo B exerce em C.
Partindo do repouso, o carrinho mostrado é propelido por uma catapulta hidráulica (jato de líquido). O jato atinge a superfície curva e é defletido de , saindo na horizontal. As resistências de rolamento e do ar podem ser desprezadas. Se a massa do carrinho é de e o jato de água sai do bocal (área ) com uma velocidade de , determine a velocidade do carrinho após ser atingido pelo jato. Trace um gráfico da velocidade do carrinho em função do tempo.
Considera-se que a potência, requerida para acionar um ventilador, depende da massa específica do fluido , da vazão em volume, , do diâmetro da hélice, , e da velocidade angular, . Se um ventilador com in fornece de ar a , que vazão volumétrica poderia se esperar de um ventilador geometricamente semelhante com in e (FOX 7.51)