Uma massa
se move em duas dimensões sob um potencial
. Escreva o Lagrangeano usando as coordenadas (
) e calcule as equações de movimento. Resp.: a)
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de mecânica clássica onde uma massa
se movimenta em duas dimensões sob a influência de um potencial
. O que vamos precisar para resolver esse problema é o conceito de Lagrangeano, que é uma ferramenta poderosa na física para descrever o movimento de sistemas. Vamos usar as coordenadas
e
para escrever o Lagrangeano e, em seguida, encontrar as equações de movimento dessa massa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Lagrangeano. O Lagrangeano
é definido como a diferença entre a energia cinética
e a energia potencial
do sistema:
Então, precisamos calcular a energia cinética e a energia potencial da massa
.
Passo 3
A energia cinética
de uma massa que se move em duas dimensões é dada por:
Aqui,
e
representam as velocidades nas direções
e
, respectivamente.
Passo 4
A energia potencial
já foi dada no enunciado:
Agora que temos
e
, podemos escrever o Lagrangeano
:
Passo 5
Para encontrar as equações de movimento, usamos as equações de Euler-Lagrange. Para cada coordenada
(neste caso,
e
), temos:
Vamos aplicar isso para
e
separadamente.
Passo 6
Primeiro, para a coordenada
:
Aplicando na equação de Euler-Lagrange:
Passo 7
Agora, para a coordenada
:
Aplicando na equação de Euler-Lagrange:
Resposta
a) As equações de movimento são: