Uma massa m se move em duas dimensões sob um potencial V(x, y)=1 / 2(x^2+y^2). Escreva o Lagrangeano usando as coordenadas ( x, y ) e calcule as equações de movimento. Resp.: a) -k x=m ddotx e -k y=m ddoty

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de mecânica clássica onde uma massa se movimenta em duas dimensões sob a influência de um potencial . O que vamos precisar para resolver esse problema é o conceito de Lagrangeano, que é uma ferramenta poderosa na física para descrever o movimento de sistemas. Vamos usar as coordenadas e para escrever o Lagrangeano e, em seguida, encontrar as equações de movimento dessa massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Lagrangeano. O Lagrangeano L = T - V é definido como a diferença entre a energia cinética e a energia potencial do sistema:
Então, precisamos calcular a energia cinética e a energia potencial da massa .

Passo 3

A energia cinética T = 12m(dotx^2 + doty^2) de uma massa que se move em duas dimensões é dada por:
Aqui, e representam as velocidades nas direções e , respectivamente.

Passo 4

A energia potencial V(x, y) = 12(x^2 + y^2) já foi dada no enunciado:
L = 12m(dotx^2 + doty^2) - 12(x^2 + y^2)
Agora que temos e , podemos escrever o Lagrangeano :

Passo 5

Para encontrar as equações de movimento, usamos as equações de Euler-Lagrange. Para cada coordenada ddt(partial Lpartial dotq) - partial Lpartial q = 0 (neste caso, e ), temos:
Vamos aplicar isso para e separadamente.

Passo 6

Primeiro, para a coordenada partial Lpartial dotx = mdotx :
ddt(partial Lpartial dotx) = mddotx
partial Lpartial x = x
mddotx - x = 0 Rightarrow -x = mddotx
Aplicando na equação de Euler-Lagrange:

Passo 7

Agora, para a coordenada partial Lpartial doty = mdoty :
ddt(partial Lpartial doty) = mddoty
partial Lpartial y = y
mddoty - y = 0 Rightarrow -y = mddoty
Aplicando na equação de Euler-Lagrange:

Resposta

a) As equações de movimento são:
- x = m ddotx
- y = m ddoty

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