Um mastro tem pés de altura. Nesse mastro, exibimos bandeiras dos seguintes tipos: bandeiras vermelhas com 1 pé de altura, bandeiras azuis com 2 pés de altura e bandeiras verdes com 2 pés de altura. A soma das alturas das bandeiras é exatamente pés.
Prove que há maneiras de dispor as bandeiras.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como arrumar bandeiras em um mastro com altura total de pés. Temos três tipos de bandeiras: vermelhas com 1 pé de altura, azuis com 2 pés e verdes também com 2 pés. Precisamos descobrir de quantas maneiras podemos dispor essas bandeiras de modo que a soma das alturas seja exatamente pés. Para resolver isso, vamos usar um pouco de combinatória e funções geradoras.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que cada bandeira ocupa um certo espaço no mastro. As vermelhas ocupam 1 pé e as azuis e verdes, como têm a mesma altura, ocupam 2 pés cada uma, mas são de tipos diferentes. Então, cada vez que colocamos uma bandeira de 2 pés, temos 2 opções de escolha: azul ou verde.

Passo 3

Agora, para calcular o número total de arranjos possíveis, precisamos considerar todas as combinações de bandeiras de 1 e 2 pés que somam exatamente pés. Vamos chamar de o número de bandeiras de 2 pés. Então, o número de bandeiras de 1 pé será .

Passo 4

Para cada valor de , o número de maneiras de escolher onde colocar as bandeiras de 2 pés entre as bandeiras de 1 pé é dado pelo coeficiente binomial:
Isso porque temos posições restantes após alocar as bandeiras de 2 pés.

Passo 5

Além disso, para cada bandeira de 2 pés, temos 2 opções de cores: azul ou verde. Então, para bandeiras de 2 pés, temos combinações de cores.

Passo 6

Portanto, o número total de arranjos para um dado é:
Agora, precisamos somar isso para todos os possíveis valores de , ou seja, de até .

Passo 7

A soma total fica assim:
Nosso objetivo é mostrar que essa soma é igual a .

Passo 8

Para provar essa igualdade, podemos usar a técnica de funções geradoras. Vamos considerar a função geradora para o número de arranjos:
Nosso objetivo é encontrar uma expressão fechada para e comparar com a função geradora da expressão desejada.

Passo 9

Após calcular a função geradora e simplificar, chegamos à expressão:
Expandindo essa expressão em séries de potências, obtemos:
O coeficiente de nessa série é exatamente , que corresponde ao número de arranjos.

Resposta

Portanto, o número de maneiras de dispor as bandeiras no mastro de pés de altura é:

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Suponha que e sejam funções diferenciáveis no número 2 e seja . Use as regras de diferenciação para calcular:
(b)
Prove as igualdades a seguir por indução. Em cada caso, é um inteiro positivo.
.
Utilize uma mudança de variável conveniente para resolver as integrais abaixo:
Prove as igualdades a seguir por indução. Em cada caso, é um inteiro positivo.
.